4.1.2 特征函数的性质
性质1φ(t)在R(1)上是一致连续的,且有
证只证明φ(t)在R(1)上是一致连续的.由于
对于任意ε＞0,可取a＞0,使
对取定的a,再取δ＞0,使得当|h|＜δ时,对一切x∈[-a,a],一致地有
于是当|h|＜δ时,就有
证毕
性质2φ(t)是非负定的,即对任意的正整数n以及任意的tk∈R(1)和复数λk(k=1,2,···,n),均有
证
证毕
性质3设X为随机变量,a,b为常数,Y=aX+b,则Y的特征函数为
证
证毕
证只证n=2的情况,一般情况用归纳法可证.
例4.1.5设X～N(0,1),μ,σ＞0为常数,Y=σX+μ,求Y的特征函数.
解显然,Y服从N(μ,σ2).由式(4.1.4),有
证毕
这就是服从N(μ,σ2)的正态随机变量的特征函数.
例4.1.6设X1,X2独立且同为二项分布,即它们的分布律分别是：
试求X1+X2的特征函数.
解由式(4.1.5),有
由此可以看出,独立且同为二项分布的两随机变量之和的特征函数仍是二项分布的特征函数.(https://www.daowen.com)
这里要提醒读者,特征函数的性质4的逆是不成立的,即当两随机变量和的特征函数等于两随机变量的特征函数的乘积时,两随机变量并不一定是独立的.
例4.1.7设(X1,X2)的概率密度为
则φX1+X2(t)=φX1(t)·φX2(t),但X1,X2不独立.
解由计算可知,边缘概率密度为
但X1,X2不独立.
性质5设随机变量X的n阶绝对矩E(|X|n)＜+∞,特征函数为φ(k)(x),则有
证由于
且由条件知
求导与积分运算可以交换(见文献[6]第181页的定理4),因此,
于是
即性质5成立.
证毕
例4.1.8设随机变量X～π(λ),试用特征函数求X的数学期望及方差.
解容易算得Poisson分布的特征函数为
因而,由式(4.1.6)可得
于是
例4.1.9设X～N(0,σ2),试证正态随机变量X的中心矩为
(4.1.7)
证由例4.1.5知,X的特征函数为
利用式（4.1.6）,并对式（4.1.8）进行各次微分,得
由此得
