4.1.1　随机变量的特征函数

4.1.1　随机变量的特征函数

定义4.1.1设X是(Ω,F,P)上的随机变量,分布函数为F(x),称t的函数

为X的特征函数,也称它为相应分布函数F(x)的特征函数.

如果X为离散型随机变量,分布律为

则X的特征函数

如果X为连续型随机变量,概率密度为f(x),则X的特征函数

例4.1.1设随机变量X～B(n,p),求X的特征函数.

解由式(4.1.2),有

例4.1.2设连续型随机变量X～U(a,b),求X的特征函数.

解由X的概率密度

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及式(4.1.3)得

例4.1.3设随机变量X服从参数为λ(λ＞0)的指数分布,求X的特征函数.

解由X的概率密度

例4.1.4设连续型随机变量X～N(0,1),求X的特征函数.

解由X的概率密度

及式(4.1.3)有

利用复变函数中的闭路积分定理可得

于是有