4.1.3　逆转公式和唯一性定理

4.1.3　逆转公式和唯一性定理

由例4.1.6可见,如果随机变量的分布与其特征函数是一一对应的,便可由特征函数求出独立随机变量和的分布.实际上,确实可以利用随机变量的特征函数去求其分布,这就是本节讨论的问题.

1.逆转公式

由随机变量X的特征函数φ(t)去求X的分布函数F(x),便有了下面所谓的“逆转公式”.

定理4.1.1(逆转公式)设分布函数F(x)的特征函数是φ(t),则对任意的x1,x2∈R(1),均有

(2)若x1,x2是F(x)的连续点,则有

证不妨设-∞＜x1＜x2＜+∞,令

于是有

其中

由于当a≥0时,有

当a＜0时,有

因此,

而且

由上可知,在Il的积分中累次积分满足Fubini定理的条件,两个积分的顺序可以交换,则有

其中

可以证明的是,gl(x;x1,x2)关于l有界,由Lebesgue控制收敛定理(见文献[6]第177页),积分运算和极限运算可以交换,由

可知

因而式(4.1.9)成立.由(1)很容易得到(2).

证毕

2.唯一性定理

定理4.1.2设F1(x),F2(x)是两分布函数,φ1(t),φ2(t)是相应的特征函数,则F1(x)≡F2(x)的充要条件是φ1(t)≡φ2(t).

证先证必要性.设F1(x)≡F2(x),则有

再证充分性.根据式(4.1.9),当φ1(t)=φ2(t)时,有

当x1,x2是F1(x),F2(x)的连续点时,有

因而有

若x*是F1(x)或F2(x)的不连续点,取xn↓x*,且xn是F1(x),F2(x)的连续点,则有

即有F1(x)≡F2(x).

证毕

推论4.1.1若φ(t)是一特征函数,则存在唯一的分布函数F(x),使φ(t)为F(x)的特征函数.(https://www.daowen.com)

综上可知,分布函数与特征函数是一一对应的,从而研究一个分布函数就可转换为研究一个特征函数.

定理4.1.3若φ(t)是一特征函数,且

则由φ(t)所决定的分布函数F(x)是一连续型的分布函数,且F′(x)在R(1)上处处存在、有界且连续,并有

首先证明G′(x)存在,且

对任意x∈R(1)均成立.

一方面,先证G(x)的右导数G+(x)存在,且

事实上,取△x＞0,于是有

其中,最后一个等号成立的理由是

再根据Lebesgue控制收敛定理,有

另一方面,

由此可得G+(x)=G-(x)(x∈R(1)),于是式(4.1.13)得证.

其次,证明G′(x)连续并有界.事实上,对于x∈R(1),由于|e-itxφ(t)|=|φ(t)|,且式(4.1.11)和式(4.1.13)成立,所以,

G′(x)是有界的.因此,对任意的x0∈R(1),由Lebesgue控制收敛定理,有

由此可见,G′(x)在R(1)上是连续的.

再证F(x)≡G(x).事实上,由G(x)的表示式可知,对于F(x)的连续点,有F(x)=G(x).设x*为任意一点,取F(x)的连续点xn↓x*,则有

可见对一切x,F(x)=G(x),即F(x)≡G(x),故式(4.1.12)成立.

最后,由F(x)≡G(x)知,F′(x)=G′(x)连续,且F′(x)在(-∞,+∞)上可积,因而对一切x,有

即F(x)是连续型的.

证毕

证对于任一整数s,有

于是

证毕

3.φ(t)是特征函数的充要条件

在研究平稳过程的相关函数的谱分解时,函数φ(t)为特征函数的充要条件起着重要的作用.下面给出这个结论,证明略去.

定理4.1.5(Bochner-Khintchine定理)函数φ(t),t∈R(1)是特征函数的充要条件是φ(t)非负定、连续且φ(0)=1.