4.4　习题

1.若随机变量X服从几何分布,即

其中0＜p＜1,q=1-p,试求X的特征函数φX(t)及E(X),D(X).

2.试求伽马分布的特征函数,并证明具有相同参数b的伽马分布关于参数p具有可加性.

3.求证：函数

和

4.设φ1(t)=cos t,φ2(t)=cos2 t是特征函数,求它们分别对应的分布函数.

5.设F(x)是随机变量X的分布函数,且F(x)是严格单调的,试分别求Y=aF(X)+b和Y=ln F(X)的特征函数,其中a,b是常数.

6.设F(x)是随机变量X的分布函数,φ(t)是X的特征函数,令

7.证明：特征函数是实值函数的充要条件是其相应的分布函数F(x)满足

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8.求证：对任何实的特征函数φ(t),均有

(1)1-φ(2t)≤4[1-φ(t)];

(2)1+φ(2t)≥2[φ(t)]2.

9.证明满足下列各等式的连续函数φ(t)是特征函数：

(1)φ(t)=φ(-t);

(2)φ(t+2a)=φ(-t);

其中a是正常数.

13.设φ(t)是分布函数F(x)的特征函数,试证：在F(x)的任意连续点x处,有

15.设X1,X2,···是独立同分布的随机变量列,E(X1)=μ＞0,ν=νp服从参数为p的指数分布并且与X1,X2,···独立,令

16.设X1,X2,X3独立,且都服从N(0,1)分布,试求Y1=X1+X2,Y2=X1+X3的联合特征函数.