7.1　泊松过程的概念

7.1　泊松过程的概念

以N(t)表示在时间区间(0,t](t＞0)内总共出现的质点个数或已发生的“事件”的总数,称随机过程{N(t),t≥0}为一个计数过程,若它满足下列条件：

(1)N(0)=0;

(2)N(t)取非负整数值;

(3)若s＜t,则N(s)≤N(t);

(4)当s＜t时,记Ns,t=N(t)-N(s),它等于区间(s,t]中发生的事件的个数.

如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的,则称计数过程有独立增量.这意味着到时刻t已发生的事件个数N(t)与时刻t到t+s之间所发生的事件个数N(t+s)-N(t)相互独立.

若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度,则称计数过程有平稳增量.换言之,若对一切t1＜t2及s＞0,在区间(t1+s,t2+s]中发生事件的个数N(t2+s)-N(t1+s)与区间(t1,t2]中发生事件的个数N(t2)-N(t1)有相同的概率分布,则称计数过程有平稳增量.

泊松过程是计数过程最重要的类型之一,其定义如下.

定义7.1.1若计数过程{N(t),t≥0}满足

(1)N(0)=0;

(2)具有独立增量性;

(3)对任意0≤s＜t,增量N(t+s)-N(s)服从均值为λt的泊松分布,

则称{N(t),t≥0}是参数(或强度)为λ(λ＞0)的(齐次)泊松过程.

许多随机点过程在一定条件下可用齐次泊松过程来描述.例如:在时间区间(0,t](t＞0)中,某电话交换台接到的电话呼叫次数;某商店的顾客数;某汽车站的乘客数;保险公司接到的险种的索赔次数;某放射性物质在放射性蜕变中发射出的α粒子数;某种原件在有替换试验中的总失效个数;等等.

注7.1.1由条件(3)可知,泊松过程有平稳增量且E[N(t)]=λt,因此,λ即单位时间内发生事件的平均个数,我们称λ为此过程的速率或强度.

为了确定一个计数过程是一个泊松过程,我们只需证明它满足条件(1),(2)及(3).条件(1)只说明了事件的计数是从时刻t=0开始的.我们可根据对过程本身的了解,直接验证条件(2).然而,条件(3)的验证不易.为此,泊松过程的一个等价定义是有用的.

现在给出泊松过程的另一个定义.

定义7.1.2若计数过程{N(t),t≥0}满足

(1)N(0)=0;

(2)具有平稳增量与独立增量;

(3)P{N(h)=1}=λh+o(h);

(4)P{N(h)≥2}=o(h),

则称{N(t),t≥0}是参数为λ(λ＞0)的(齐次)泊松过程,其中o(h)表示当h→0时,对h的高阶无穷小.

下面给出两个定义的等价定理,并给出该定理的严格数学证明.

定理7.1.1定义7.1.1与定义7.1.2是等价的.

证此处只证明定义7.1.2蕴含定义7.1.1,逆命题的证明留给读者自行完成.为此,设

由定义7.1.2的条件(2),(3)及(4)可得P{N(h)=0}=1-λh+o(h)及(https://www.daowen.com)

由P0(0)=P{N(0)=0}=1,经积分得到

类似地,当n≥1时,

然而,由(4)可知上式的最后一项是o(h),因而利用(2)可得

在式(7.1.2)中,令n=1,再由式(7.1.1)可得

又因为P1(0)=0,故P1(t)=λte-λt.

下面用数学归纳法证明

先假定n-1时上式成立.由式(7.1.2)知

又Pn(0)=P{N(0)=n}=0,故C=0.因此,

于是定义7.1.2蕴含定义7.1.1.

证毕

例7.1.1顾客按照强度为λ的泊松过程{N(t),t≥0}来到某银行,N(t)表示(0,t]内已经到达银行的顾客数,求P{N(1)=3,N(3)=5}.

解

例7.1.2设在(0,t]内来到某商店门口的顾客数形成强度为λ的泊松过程{N(t),t≥0}.每个来到商店门口的顾客以概率p进入商店,以概率1-p不进入商店,且各个顾客进入商店与否相互独立.以M(t)表示在(0,t]内进入商店的顾客数,证明{M(t),t≥0}是一个强度为λp的泊松过程.

证由于每个顾客来到商店门口时,进入或者不进入商店与其他顾客进入商店与否相互独立,而且来到商店门口的顾客数服从泊松分布,所以M(t)也具有平稳独立增量,只需证明M(t)服从参数为λpt的泊松分布,即对t＞0,有

由于

其中m=0,1,···,故结论成立.

证毕