6.4　习题

6.4　习题

1.已知随机过程X(t)为

其中ω0＞0为常数,X～N(0,1),求该随机过程的均值函数、相关函数、协方差函数和方差函数,并写出X(t)的一维概率密度.

2.设随机过程X(t)=A cos(ω0t+Θ),其中ω0＞0为常数,A和Θ为相互独立的随机变量,且A～U(0,1),Θ～U(0,2π),求X(t)的均值函数和相关函数.

3.设随机过程X(t)为

其中U～U(0,1),求过程的均值函数、相关函数、协方差函数和方差函数.

4.设随机过程X(t)=U cos t+V sin t,Y(t)=U cos 2t+V sin 2t,其中U,V是均值为0、方差为3的不相关的随机变量,求过程X(t)与Y(t)的互相关函数.

5.设有两个随机过程

其中Y是随机变量,试分别讨论过程X1(t)与X2(t)的(宽)平稳性.

6.已知随机过程X(t)=t2+A sin t+B cos t,其中A,B均为随机变量,并有E(A)=E(B)=0,D(A)=D(B)=10,E(AB)=0,试分别讨论过程X(t)与Y(t)ˆ=X(t)-μX(t)的(宽)平稳性.

7.设随机过程Z(t)=X(t)+Y,其中X(t)是一(宽)平稳过程,Y是与X(t)独立的随机变量,试讨论过程Z(t)的(宽)平稳性.(https://www.daowen.com)

9.设随机过程Z(t)=At+B,t≥0,其中A,B独立同分布于标准正态分布N(0,1),证明Z(t)是高斯过程,并求其均值函数、协方差函数、一维概率密度函数.

10.设X(t)为零均值的平稳高斯过程,其自相关函数分别为：

试求随机变量X(t),X(t+1),X(t+2),X(t+3)的协方差矩阵.

11.设{W(t),t≥0}是参数为σ2的维纳过程,证明经下面变换所得的新过程Wi(t)(i=1,2)均为维纳过程：

(1)对h＞0,W1(t)=W(t+h)-W(h),t≥0;

(2)W2(t)=-W(t),t≥0.

12.设{W(t),t≥0}是参数为σ2的维纳过程,求下列过程的均值函数和自相关函数：

13.设{W(t),t≥0}是参数为σ2的维纳过程,求下列过程的协方差函数：

(1)W(t)+At(A为常数);

(2)W(t)+Xt,X与W(t)相互独立,X～N(0,1).