7.2.1　齐次泊松过程到达时间与到达时间间隔的分布

7.2.1　齐次泊松过程到达时间与到达时间间隔的分布

设{N(t),t≥0}是一个齐次泊松过程,N(t)表示(0,t]时间区间内事件发生的个数,记

对于n=1,2,···,以Sn表示第n个事件的到达或等待时间,于是,Tn=Sn-Sn-1(令S0=0)是第n-1个事件与第n个事件之间的时间间隔.易见,对于n≥1,有

因为在(0,t]内有不多于n个事件发生相当于要求第n+1个事件发生在时刻t之后,所以事件{N(t)≤n}和{Sn+1＞t}是等价的,从而它们的余事件{N(t)＞n}和{Sn+1≤t}也相等,于是有

特别地,P{N(t)=0}=P{S1＞t}=1-P{S1≤t}.

定理7.2.1具有强度λ的齐次泊松过程的前n个事件发生时间S1,S2,···,Sn的联合概率密度或S=(S1,S2,···,Sn)的概率密度是

这里n是任意正整数.

证

按联合概率密度的定义有

其中,0＜s1＜s2＜···＜sn.

证毕

定理7.2.2具有强度λ的齐次泊松过程的前n个时间间隔T1,T2,···,Tn的联合概率密度或T=(T1,T2,···,Tn)的概率密度是

证令

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则变换

的雅可比行列式为

由第2章最后一节的概率密度变换公式和定理7.2.1得

其中ti＞0,1≤i≤n.

证毕

有了以上准备工作之后,我们给出如下定理.

定理7.2.3计数过程{N(t),t≥0}是具有强度λ的齐次泊松过程的充分必要条件是它的时间间隔序列{Tn,n≥1}是相互独立的指数分布(参数为λ)随机变量序列.

证λ=0的情形是平凡的,下面只对λ＞0的情形加以证明,必要性由定理7.2.2可证,下面证明定理7.2.3的充分性.由指数分布的无记忆性易知,过程{N(t),t≥0}具有平稳独立增量,余下只需证明对任意t＞0和整数n=0,1,2,···,

当n=0时易证,下设n≥1.因为{Tn}是相互独立且有参数λ的指数分布随机变量序列,故Sn=T1+T2+···+Tn服从参数为λ和n的伽马分布,其概率密度函数是

由于

作变量代换λx=y后,利用分部积分即得

证毕

定理7.2.4设{N(t),t≥0}是强度为λ的齐次泊松过程,则它的第n个到达时间Sn=T1+T2+···+Tn服从参数为λ和n的伽马分布,分布函数为