7.2.2　事件发生时刻的条件分布

7.2.2　事件发生时刻的条件分布

设齐次泊松过程{N(t),t≥0}的强度为λ,其描述的事件A已经发生了n次,我们现在来考虑这n次事件发生的时刻S1,S2,···,Sn的联合分布.首先,简化这个问题,考虑n=1时的情形,对于s≤t,

即在已知(0,t]内A只发生一次的前提下,A发生的时刻在(0,t]上是均匀分布的.这一结果的产生原因是泊松过程有平稳独立增量.事件在(0,t]的任何相同长度的子区间内发生的概率都是相等的.

现在来考虑n≥2的情况.

定理7.2.5在已知N(t)=n的条件下,事件发生的n个时刻S1,S2,···,Sn和n个在[0,T]上均匀分布的独立随机变量U1,U2,···,Un的次序统计量有相同的n维联合分布,即n维随机变量(S1,S2,···,Sn)有n维条件密度函数

证对于0=t0＜t1＜···＜tn≤t,有

故按照定义,给定N(t)=n时(S1,S2,···,Sn)的n维条件密度函数是

证毕

定理7.2.5从直观上表明,在已知(0,t]内发生n次事件的前提下,作为无次序的随机变量,各次事件发生的时刻S1,S2,···,Sn可被看作相互独立的随机变量,且都服从(0,t]上的均匀分布.这有助于理解为什么可以用齐次泊松过程来模拟“随机”发生的事件序列和为什么把这类过程称为完全随机点过程(completely random point process).

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解在N(t)给定的条件下,取条件期望

由定理7.2.5,记U1,U2,···,Un为n个独立的服从(0,t]上均匀分布的随机变量,有

例7.2.2设在(0,t]内事件A已经发生n次,且0＜s＜t,对于0＜k＜n,求P{N(s)=k|N(t)=n}.

解

若记(0,t]=B,(0,s]=A1,(s,t]=A2,则A1∩A2=∅,A1∪A2=B.利用这些记号,条件概率可改写成P{N(A1)=k,N(A2)=n-k|N(B)=n},我们还可以把这个结果推广到B是任意有限多个互不相交的区间之并的情形,即有如下的定理.

证因为由N(A1)=n1,N(A2)=n2,···,N(Am)=nm可推出N(B)=n,故

证毕