7.3.1 非齐次泊松过程的概念
如果把齐次泊松过程定义中的平稳性去掉,我们就可得到非齐次泊松过程.非齐次泊松过程在实际中非常常见,为此我们从齐次泊松过程的定义出发,将其进行推广,即把泊松过程的强度λ改为与时间t有关的函数λ(t).这样一来就可得到如下定义.
定义7.3.1计数过程{N(t),t≥0}称作强度为λ(t)的非齐次泊松过程,若
(1)N(0)=0;
(2)对任意t≥0和h＞0,
其中λ(t)是[0,+∞)上的非负函数,它在任意有限区间上都是可积的;
(3)过程有独立增量性.
若过程是齐次的,则λ(t)恒等于某一常数λ,故Λ(t)=λt,即Λ(t)和区间长度t成正比.
定理7.3.1设{N(t),t≥0}是强度为λ(t)的泊松过程,则增量Nt,t+s=N(t+s)-N(t)服从参数为
的泊松分布,即对任意整数n≥0,
证对固定的t≥0,我们定义
则由增量的独立性和条件(2)知,对任意h＞0,有
故
由此看出,P0(s)是变元s的连续函数,用h除式(7.3.1)两端后,令h→0得
由条件(2)易知P0(0)=1,利用这一初始条件对式(7.3.2)积分得(https://www.daowen.com)
对于n≥1,由条件(2)和独立增量性质得
用h除式(7.3.3)两端后,令h→0得
若令P-1(s)=0,则当n=0时,式(7.3.4)就变成了式(7.3.2),即式(7.3.4)对任意整数n≥0均成立.我们利用母函数方法求方程组(7.3.4)的解,令
对每一个n=0,1,2,···,将式(7.3.4)两边乘以zn并对n求和可得
因为F(0,z)=P0(0)=1,故
将式(7.3.6)和母函数F(s,z)的定义,即式(7.3.5)进行对比,得
解当t＞0时,由于{Sn≤t}={N(t)≥n},故
式(7.3.7)对t求导,得到Sn的概率密度为
由于Λ′(t)=λ(t),故
当t≤0时,fSn(t)=0,故
