8.2.1　均方收敛

8.2.1　均方收敛

定义8.2.1设Xn,X∈H,如果

则称当n→∞时,Xn均方收敛到X,或称当n→∞时,X是Xn的均方极限,记作

其中l.i.m代表均方意义下的极限,是英文“limit in mean”的缩写.

注8.2.1(1)均方收敛就是5.1节中的r=2阶收敛.

(2)均方极限是唯一的,即如果Xn,X,Y∈H,且

则有X=Y.

下面讨论均方极限的一些性质.

证(1)由Cauchy-Schwarz不等式,有

(2)因为(https://www.daowen.com)

证毕

引理8.2.1中的(1)经常被用到,它可以表示成下列形式：

即均方极限的数学期望等于数学期望的极限.

证由Cauchy-Schwarz不等式及引理8.2.1,有

证毕

定理8.2.1(均方收敛准则)如果Xn∈H,则下列诸条件等价：

定理8.2.1的证明要用到Fatou-Lebesque定理(参考文献[4]第175页的定理1),可参考文献[2]第342页定理10.1.1和第344页定理10.1.3的证明.

以上讨论了具有二阶矩的随机序列的均方极限的性质,对于一般的二阶矩过程{X(t)},其均方极限也有类似的性质,只要把参数n换成t即可.