8.2.3 均方导数
定义8.2.3设{X(t),t∈T}为二阶矩过程,若对t∈T,存在随机变量X∈H,使得
为了给出均方可导准则,需要用到二元函数的广义二次可导的概念.
定义8.2.4设f(s,t)为二元函数,如果极限
存在,则称f(s,t)在(s,t)处广义二次可导.
定理8.2.4(均方可导准则){X(t),t∈T}在t∈T处均方可导的充要条件是：其相关函数RX(s,t)在(t,t)处广义二次可导.
证由于
{X(t),t∈T}在t∈T处均方可导,即有
证毕
定理8.2.5设{X(t),t∈T}的均值函数为μX(t),相关函数为RX(s,t),在T上的均方导数为X′(t),则
推论8.2.2设{X(t),t∈T}在T上均方可导,且X′(t)=0,则X(t)=X(不依赖于t的随机变量).
证由X′(t)=0及定理8.2.5知,RX(s,t)≡C(常数),于是对任意的s,t∈T,s／=t,有
因而E[|X(t)-X(s)|2]=0,即对任意的s,t∈T,s／=t,有X(t)=X(s),所以推论成立.
证毕
例8.2.3设{W(t),t≥0}为维纳过程,它的均值函数和相关函数分别为
讨论{W(t)}的可微性.
解由于当h→0+时,有(https://www.daowen.com)
可见{W(t),t≥0}不是均方可微的.考虑到
其中,
因此,可定义均值为0且相关函数为
的随机过程为{W(t),t≥0}的微分过程{W′(t),t≥0}.
关于平稳过程,则有下面的定理.
定理8.2.6下列诸条件中(1)⇔(2),(4)⇒(3),(1)⇒(4).
(1){X(t)}均方可导;
(2){X(t)}在t=0处均方可导;
(3)RX(τ)在τ=0处二次可导;
(4)RX(τ)二次可导.
证(1)⇔(2)是由于
(4)⇒(3)显然.
下面证明(1)⇒(4).由于当h→0时,
因而当h′→0时,
证毕
