8.2.2　均方连续

8.2.2　均方连续

以下假定所涉及的随机过程是实的或复的二阶矩过程.

定义8.2.2如果二阶矩过程{X(t),t∈T}满足：对t∈T,有

则称{X(t),t∈T}在t处均方连续.若{X(t),t∈T}在每一点t∈T处均方连续,则称{X(t)}在T上均方连续.

由式(8.2.1)及引理8.2.1的(1),不难推出{X(t),t∈T}的均值函数是t的连续函数：若X(t)在t处均方连续,则

定理8.2.2(均方连续准则){X(t),t∈T}在t∈T处均方连续的充要条件是：其相关函数RX(s,t)在(t,t)处连续.

证先证充分性.设RX(s,t)在(t,t)连续,则

可见{X(t)}在t处均方连续.

再证必要性.若{X(t)}在t处均方连续,则有

由引理8.2.2知,当h→0,h′→0时,有

即RX(s,t)在(t,t)处连续.

证毕

推论8.2.1如果RX(s,t)在一切(t,t)处连续,则RX(s,t)在一切(s,t)处连续.

证由于RX(s,t)在一切(t,t)处连续,因而对任意的t∈T,{X(t)}在t处均方连续,即有

由引理8.2.2,有(https://www.daowen.com)

证毕

综上可知,二阶矩过程{X(t),t∈T}在T上均方连续与它的相关函数RX(s,t)在T×T上连续是等价的.而RX(s,t)在T×T上连续又等价于它在对角线{(t,t):t∈T}上连续.

例8.2.1设{X(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程,则

本节在讨论平稳过程的性质时,假定T是连续参数集,且0∈T.对于平稳过程,我们有下面的定理.

定理8.2.3对于平稳过程{X(t),t∈T},下列条件等价：

(1){X(t)}在T上均方连续;

(2){X(t)}在t=0处均方连续;

(3)RX(τ)在τ=0处连续;

(4)RX(τ)在T上连续.

证(1)⇒(2)显然.

(2)⇒(3)是由于

(3)⇒(4)是由于

(4)⇒(1)是由于

证毕