8.5　习题

8.5　习题

1.若X(t)和Y(t)是两个相互独立的平稳过程,则

也是平稳过程.

2.若随机过程X(t)为平稳过程,

其中X(t)和Θ相互独立,Θ～U(0,2π),ω0＞0为常数.

(1)求证Y(t)为平稳过程.

(2)若令W(t)=X(t)cos[(ω0+δ)t+Θ],求证W(t)也是平稳过程.

(3)求证上述两过程之和Y(t)+W(t)不是平稳过程.

3.设X(t)=cos(ω0t+Θ),其中ω0为常数,Θ为随机变量,其特征函数为φ(u).证明X(t)为平稳过程的充要条件是φ(1)=φ(2)=0.

4.设X(t)是一平稳过程,且满足

则称X(t)为周期平稳过程,T为过程的周期,试证：X(t)的相关函数也是以T为周期的周期函数.

5.均值函数为μX(t)=5 sin t,自相关函数为RX(s,t)=3e-0.5(s-t)2的随机过程X(t)输入微分电路,该电路输出随机信号Y(t)=X′(t).求Y(t)的均值和自相关函数.

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7.设随机过程Z(t)=X(t)+Y,其中X(t)是一关于均值遍历的平稳过程,Y是与X(t)独立的非退化随机变量,试说明Z(t)不是遍历的.

8.设CX(τ)是均方连续的平稳过程{X(t),t∈R1}的自协方差函数,证明:如果CX(τ)绝对可积,即

则X(t)关于均值具有均方遍历性.

9.设随机过程X(t)=U sin t+V cos t,其中U,V皆是均值为0、方差为σ2且互不相关的随机变量,试证X(t)关于均值是遍历的.

10.设随机过程X(t)=A cos(ω0t+Φ),其中A,Φ是相互独立的随机变量,且Φ～U(0,2π),试问该过程关于均值是否具有遍历性？请加以证明.

11.设{X(t),-∞＜t＜+∞}是平稳过程,f(λ)是其谱密度,试证：对任意的h＞0,均有

是平稳过程,即平稳过程是具有平稳增量的,并求Y(t)的谱密度.

12.设{X(t),-∞＜t＜+∞}是均值为0的实正态平稳过程,相关函数为RX(τ),令Y(t)=X2(t),试证：{Y(t),-∞＜t＜+∞}也是平稳过程,并求其均值及相关函数(假设RX(τ)已知).

13.设二阶矩过程{X(t),-∞＜t＜+∞}的均值函数为E[X(t)]=α+βt,自相关函数为RX(s,t)=e-λ|s-t|,其中α,β,λ＞0都是常数,试证：Y(t)=X(t+1)-X(t)是平稳过程,并求E[X(t)]及RX(τ).

14.设X,Y是两实随机变量且相互独立,E(X)=0,D(X)=1,Y的分布函数是F(x),证明：

为平稳过程,且其谱函数就是F(λ).