8.4 平稳过程相关函数的谱分解
考虑n个正弦波的迭加
其中{qk,-n≤k≤n}为一概率分布.
上面的讨论启发我们可以研究这样的问题：一般地,是否有
的形式？而且X(t)的表达式也启发我们可以讨论这样的问题：X(t)是否也可以表达为
的形式？其中{η(t)}为具有某种性质的随机过程.
定理8.4.1复值函数R(τ)(τ∈T)成为均方值为1的均方连续平稳过程{X(t),t∈T}的相关函数的充要条件是R(τ)可以表示成
其中R(λ)是右连续的分布函数,在不计相差一个常数的意义下,F(λ)是唯一的.
证先证必要性.由于{X(t)}均方连续,均方值为1,由相关函数的性质知,R(τ)连续、非负定,且R(0)=1,由特征函数的充要条件知,R(τ)可表示成式(8.4.1)的形式.
再证充分性.如果R(τ)可表示成式(8.4.1)的形式,则它是F(λ)对应的特征函数,因而具有非负定性.于是,存在复正态过程{X(t),t∈T}(取μX(t)=0,RX(s,t)=R(s-t)),使得E[X(t)]=0,E[|X(t)|2]=R(0)=1,且
可见{X(t)}为平稳过程,且均方值为1.又由于|eikτ|=1,故可在积分号下取极限,可知R(τ)是连续的,因而{X(t)}均方连续.
定义8.4.1如果平稳过程{X(t),t∈T}的相关函数RX(t)可表示成
则称F(λ)为{X(t),t∈T}的相关函数的谱函数,简称为{X(t)}的谱函数,f(λ)是它的谱密度.
定理8.4.1中的条件E[|X(t)|2]=1不是本质的.如果E[|X(t)|2]=σ2＞0,令
G(λ)是有界、不减、右连续函数.
定理8.4.2实值函数R(τ)成为均值为0、方差为1的均方连续的实平稳过程{X(t),t∈T}的相关函数的充要条件是它可以表示成
当F(λ)在λ=0处连续时,有(https://www.daowen.com)
其中G(λ)=2F(λ)是有界、不减、右连续函数.
证当R(τ)是实值函数时,由定理8.4.1知,定理的前半部分成立.
当R(τ)为实值函数时,由特征函数的性质知,
所以
再考虑到F(λ)在λ=0处连续,有
其中,G(λ)=2F(λ).
证毕
例8.4.1设{X(t),-∞＜t＜+∞}为实平稳过程,已知自相关函数和谱密度分别为RX(τ)和SX(ω).令Y(t)=X(t+h)-X(t-h),-∞＜t＜+∞,其中h为固定常数.证明{Y(t)}为平稳过程,并求它的自相关函数RY(τ)和谱密度SY(ω).
解μY(t)=E(Y(t))=E[X(t+h)-X(t-h)]=0,
由上可知,μY(t)恒为常数,RY(t,t+τ)只与τ有关.又{Y(t)}为二阶矩过程,故是平稳过程,且它的自相关函数和谱密度分别为
例8.4.2设Y(t),Z(t),t∈T是两个相互独立的平稳过程,均值函数分别为μY,μZ,相关函数分别为RY(τ),RZ(τ),谱密度函数分别为f(λ),g(λ).请先证明随机过程η(t)=Y(t)Z(t)为平稳过程,再求RY(τ)=RY为常数时,平稳过程η(t)的谱密度函数h(λ).
解因为
所以η(t)=Y(t)Z(t)是平稳过程.谱密度函数为
例8.4.3设{X(t),t∈T}是一个实平稳过程,均值函数为μX,相关函数为RX(τ).令随机过程Y(t)=X(t)cos(αt+Θ),t∈T,其中Θ～U(0,2π),α为常数,该随机过程与实平稳过程{X(t),t∈T}相互独立.
(1)证明随机过程Y(t)是平稳过程;
(2)当RX(τ)=RX为常数时,求平稳过程Y(t)的谱密度函数g(ω).
解(1)因为
所以Y(t)是平稳过程.
(2)Y(t)的谱密度函数为
