9.2.4 状态分类的判定法
定理9.2.8状态j常返的充要条件是
若j非常返,则
证法一
由引理9.2.1,有
证毕
证法二（参考文献[13]第225页）
先证明式(9.2.5)成立.
(1)充分性.由引理9.2.1,特别地,取i=j,则有
两边从1到N进行加和,得
进一步,
(2)必要性.在式(9.2.7)中,若取N′＜N,则有
式中右边的不等式是根据1≤v≤N′得到的.由此得
再令N′→∞,有
以上两个级数在|s|＜1时都是绝对收敛的.
利用引理9.2.1,有
于是有
因为两个级数在|s|＜1时都是绝对收敛的,所以上述推导中交换求和的顺序是允许的.令j=i,则Pjj(s)=1+Fjj(s)Pjj(s),整理得
若在式(9.2.12)中令s=1,且注意到母函数
证毕
设马氏链{Xn}的初始状态X0=j,并记Y为返回状态j的次数.定义
则(https://www.daowen.com)
下面给出遍历状态和零常返状态的判定方法,为此先给出下面的结论.
定理9.2.9如果j常返且有周期d,则
定理9.2.9的证明较长,故略去（参考文献[10]第94页）.定理9.2.9也说明马氏链从常返态j出发后,对于充分大的n,在nd步返回状态j的概率与d成正比,与平均回转时间μj成反比.
推论9.2.5如果j是零常返或非常返的,则对任一i∈E,均有
证首先,证明若j是零常返或非常返的,则有
其次,证明对任一i∈E,均有
设N＜n,有
取定N,令n→∞,则由于
下面讨论互通与状态分类的关系.
定理9.2.10如果i常返,且i→j,则j也是常返的,且fji=1.
证由i→j知fij＞0.记
可见必存在N,使得
由i常返,fii=1,可知fji=1,故j→i.
证毕
定理9.2.11如果i↔j,则
(1)i和j同为常返或非常返,如同为常返,它们同为正常返或零常返;
(2)i和j有相同的周期.
知,i也是零常返的.同样,由i是零常返的,可得j也是零常返的.
知d|(s+r),可见d|n,所以d≤t.同理可证t≤d.于是t=d.
证毕
由于马氏链中某一类的各状态是互通的,所以只要其中有一个状态是常返（非常返）的,则同类中各状态均是常返（非常返）的.可见,常返态和非常返态均与一个类有关,故可以把常返态、非常返态称为类的特性.
