9.3.1　状态空间的分解

9.3.1　状态空间的分解

状态空间可分为常返状态和非常返状态两部分,分别记为C和D.由定理9.2.10,C是闭集(不一定不可分),按状态互通关系分类,又可将C进一步分成C1,C2,···,Cn,···.

定理9.3.1任一马氏链的状态空间E可唯一地分解成有限多个或可列多个互不相交的子集D,C1,C2,···,Cn,···之并,使得

(1)每一个Cn是常返状态组成的闭集;

(2)Cn中的状态同类,或全是正常返,或全是零常返,它们有相同的周期且fjk=1,j,k∈Cn;

(3)D由全体非常返状态组成,即自Cn中的状态不能到达D中的状态.

通常称Cn(n=1,2,···)为基本常返闭集.

例9.3.1设齐次马氏链的状态空间为E={1,2,···},转移概率矩阵为

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(1)问链是否可分,若可分,给出全部不可分闭集;

(2)讨论该链的状态分类以及各状态的周期.

解(1)链可分,不可分闭集为{2,4},{3},{5,6,···}.

(2)经过计算可得

所以状态2,3,4是正常返状态,1是非常返态,5,6,···是零常返态,周期均为1.