4.4 分析摆线的生成和性质
1.摆线的定义
设有一个固定圆，其半径为R，圆心在原点，另有一个动圆，其半径为r，动圆始终与固定圆外切，沿固定圆无滑动地滚动，此时动圆上一定点M的轨迹叫作摆线，固定圆成为准圆。
2.摆线的参数方程
设M（x，y）为动圆上的固定点，如图4.15所示，假设A是点M的初始位置，以通过OA的直线为x轴，过点O作x轴的垂线，以此为y轴。
图4.15 坐标系的建立
如图4.16所示，当动圆滚动圆心到C处，过C作CE⊥x轴，过M作MF⊥x轴，MD⊥CE，连接C与M、O与C。
图4.16 外摆线的形成
再设∠MCB=θ为滚动角，∠MCD=α为辅助角，∠AOC=β为公转角，取公转角β为参数，则
因为
因为动圆在准圆上无滑动地滚动，所以
弧的长等于
弧的长，即
又因为四边形OFMC的四个内角的和
将式（4.6）代入式（4.7）并整理得
将式（4.8）代入式（4.4）和式（4.5）得
化简可得外摆线的参数方程：(https://www.daowen.com)
如果R=nr（n为正整数）时，摆线有n个歧点，摆线是由n个完全相同的拱形弧组成的封闭曲线，此时方程（4.9）变为
在特殊情况n=1时，形成的外摆线就是有名的心形线，参数方程（4.10）变为
3.演示模板的制作
第一步，输入准圆和动圆半径。在单元格A2和B2中输入准圆和动圆半径的值（本书中先输入“3”和“1”），如图4.17所示。
第二步，输入动圆圆心和动点坐标。在单元格A5中输入实现圆心转动参数的公式“=IF（A5＜360，A5+5，0）”。在单元格B5和C5中输入计算动圆圆心坐标的公式“=（$A$2+$B$2）*COS（A5*PI（）/180）”和“=（$A$2+$B$2）*SIN（A5*PI（）/180）”。在单元格E5和F5中，用摆线方程（4.10）输入动点坐标的计算公式“=（$A$2+$B$2）*COS（A5*PI（）/180）-$B$2*COS（（$A$2+$B$2）/$B$2*A5*PI（）/180）”和“=（$A$2+$B$2）*SIN（A5*PI（）/180）-$B$2*SIN（（$A$2+$B$2）/$B$2*A5*PI（）/180）”，如图4.17所示。
图4.17 动圆的圆心和动点的坐标
第三步，输入准圆、动圆和摆线上点的坐标计算公式。在单元格A8和A9中分别输入“0”“10”，将单元格A8和A9同时选中，把鼠标指针移动到单元格A9的右下角，待鼠标指针变为填充柄（“
”符号）时，按住鼠标左键向下拖动到单元格A44，完成单元格区域A8：A44的自动填充。在单元格B8和C8中分别输入计算准圆上点横坐标和纵坐标的计算公式“=$A$2*COS（A8*PI（）/180）”和“=$A$2*SIN（A8*PI（）/180）”。在单元格E8和F8中分别输入计算动圆上点横坐标和纵坐标的计算公式“=$B$5+$B$2*COS（A8*PI（）/180）”和“=$C$5+$B$2*SIN（A8*PI（）/180）”。在单元格H8和I8中分别输入计算摆线上点横坐标和纵坐标的计算公式“=（$A$2+$B$2）*COS（A8*PI（）/180）-$B$2*COS（（$A$2+$B$2）/$B$2*A8*PI（）/180）”和“=（$A$2+$B$2）*SIN（A8*PI（）/180）-$B$2*SIN（（$A$2+$B$2）/$B$2*A8*PI（）/180）”。选中单元格区域B8：I8，把鼠标指针移动到单元格I8的右下角，待其变为填充柄（“+”符号）时，按住鼠标左键，向下拖动到单元格I44，得到图4.18所示的数据。
图4.18 准圆、动圆和摆线上点的坐标
第四步，绘制图像。选中单元格区域B10：C44，依次单击“插入”、图表下拉按钮、“更多散点图
）...”，选择“XY（散点图）→带平滑线的散点图”，单击“确定”按钮，完成准圆的绘制。选择刚绘制的准圆图像，单击右键选择“选择数据”，在弹出的“选择数据源”对话框中单击“添加”按钮，弹出“编辑数据系列”对话框后，在系列名称内填“=动圆”，在X轴系列值内选择填“=Sheet1！$E$8：$E$44”，在Y轴系列值内选择填“=Sheet1！$F$8：$F$44”。按如上操作，再次单击“添加”按钮，分别填“=摆线”“=Sheet1！$H$8：$H$44”和“=Sheet1！$I$8：$I$44”，单击“确定”按钮；单击“添加”按钮，分别填“=动点”“=Sheet1！$E$5”和“=Sheet1！$F$”，单击“确定”按钮。对图像属性进行修改，得到图4.19所示的结果。
图4.19 摆线图像
第五步，启用Excel的迭代计算功能和实现动画。如图4.8所示，设计“Excel选项”对话框，启用Excel的迭代计算功能。这时，如果我们按功能键F9，随着动圆沿着准圆上无滑动地滚动，动点沿着已画好的摆线移动，演示摆线的生成过程。
在本模板中如果我们将准圆和动圆的半径两个都输入为2，则此时摆线就变成心形线，如图4.20所示。
图4.20 心形线图像
