4.5 解释复变函数的几何意义
我们常用几何图形来直观表示函数的意义，为了表述复变函数描述的几何意义，取两张复平面，分别称为ω平面和z平面。如果在z平面上函数ω=f（z）的定义域D内取一点z0，通过ω=f（z）在ω平面上有相应的点ω0与之对应，当z取遍点集D时，在ω平面上就有相应的点集G与之对应。因此，从几何上来讲，复变函数ω=f（z）代表的是z平面上点集D到ω平面上点集G之间的一种变换，即一种映照。
下面用Excel直观地演示这种z平面到ω平面的映射。
例4.1 复变函数ω=z+
将z平面上的圆周|z|=R映照成ω平面上的什么图形？
1.函数关系的说明
首先我们用复变函数知识来说明复变函数ω=z+
将z平面上的圆周|z|=R映照成ω平面上的什么图形。
圆周|z|=R可表示成z=Reiθ，即
0≤θ≤2π，此时由ω=z+
可得ω=
如果令a=
，则ω=acosθ+isinθ。
假设ω=u+vi，则
很显然，当R≠1时
=1，这说明映照ω=z+
将z平面上的圆周|z|=R（R≠1）映照成ω平面上长轴为2a，短轴为2|b|的椭圆。当R=1时，ω=2cosθ，这说明映照ω=z+
将z平面上的单位圆映照成ω平面上实轴的线段-2≤u≤0。
2.演示模板的制作
第一步，输入z平面上被映射区域圆的半径，在单元格B1中输入圆的半径（此处先输入2）。(https://www.daowen.com)
第二步，输入被映射圆映射前和映射后的坐标计算公式。在单元格A3和A4中分别输入“0”和“5”，将单元格A3和单元格A4同时选中，把鼠标指针移动到单元格A4的右下角，待其变为填充柄（“
”符号）时，按住鼠标左键向下拖动到单元格A75，完成单元格区域A5：A75的自动填充。在单元格B3、C3和D3中输入映射前的圆坐标和对应复数的计算公式“=$B$1*COS（A3*PI（）/180）”“=$B$1*SIN（A3*PI（）/180）”和“=COMPLEX（B3，C3）”。在单元格G3中用映射函数表达式ω=z+
输入圆上点坐标对应的映射后复数的计算公式“=IMSUM（D3，IMDIV（COMPLEX（1，0），D3））”。在单元格H3和I3中分别输入计算复数实部和虚部的公式“=IMREAL（F3）”和“=IMAGINARY（F3）”。选中单元格区域B3：I3，把鼠标指针移动到单元格I3的右下角，待其变为填充柄（“
”符号）时，按住鼠标左键向下拖动到单元格I75，得到图4.21所示的数据。
图4.21 被映射圆映射前和映射后的坐标
第四步，绘制图像。选中单元格区域B3：C75，依次单击“插入”、图表下拉按钮、“更多散点图
）...”，选择“XY（散点图）→带平滑线的散点图”，单击“确定”按钮，得到映射前圆的图像，如图4.22（a）所示。选中单元格区域H3：I75，依次单击“插入”、图表下拉按钮、“更多散点图（
）...”，选择“XY（散点图）→带平滑线的散点图”，单击“确定”按钮，得到映射后圆的图像，如图4.22（b）所示。
图4.22 当R=2时，将圆映射成椭圆
在本模板中，如果圆的半径改为1，则得到图4.23所示的演示结果，即将单位圆映射成线段。如果圆的半径仍然为2，映射函数改为ω=ez（在单元格G3中输入“IMEXP（D3）”并拖动），则圆〔如图4.24（a）所示〕映射成图4.24（b）所示的心形线。总之，在这个模板上映射函数改成任何一个函数都可以观察到圆映射成的图像，该模板有很好的扩展性。
图4.23 当R=1时，将单位圆映射成线段
图4.24 当R=2时，指数函数将圆映射成心形线
