4.3 直观表示导数的几何意义
1.导数的定义
设函数f（x）在x0的某一领域U（x0）内有意义，在此领域内，当自变量在x0处有增量Δx时，相应的函数有增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0），当Δx→0时，Δy与Δx之比的极限
存在，则称函数f（x）在x0处可导，并称该极限值为f（x）在x0处的导数，记作f'（x）。
2.导数的几何意义
导数f'（x）的本质是函数f（x）在x=x0处的瞬时变化率。如图4.10所示，割线PQ的斜率是
当Δx→0时
无限趋近于的常数是f'（x），从图形上看，当Δx趋近于0时，点Q沿曲线趋近于点P，割线绕点P转动，它的极限位置为直线PT，这条直线叫作此曲线在点P的切线。于是当Δx→0时，割线PQ的斜率趋近于过点P的切线斜率，因此函数f（x）在x=x0处的导数的几何意义是函数图像在（x0，y0）处的切线斜率。
图4.10 导数的几何意义
3.模板的制作
以函数y=xn，x∈[a，b]在x=x0（x0∈[a，b]）处的导数为例介绍用Excel直观表示导数的几何意义。
第一步，输入常数。在单元格A2、B2和C2中分别输入n、a和b的值（本书中取n=2，a=-1，b=2），如图4.11所示。
第二步，计算自变量和因变量增量。在单元格A5、B5和C5中分别输入“=IF（A5＜=0，2.0，A5-0.05）”“0.5”和“=B5+A5”。在单元格A6、B6和C6中分别输入“=B5^A2”“=C5^A2”和“=B7-A7”，如图4.11所示。
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图4.11 自变量和因变量的增量
第三步，计算切线和割线。在单元格A10和B10中分别输入切线和割线斜率的计算公式“=A2*（B5）^（A2-1）”和“=IF（A5＜＞0，C7/A5，A10）”。用切线和割线的方程求切线上x=a和x=b对应的纵坐标，因此在单元格A13和单元格A14中分别输入“=A7+A10*（B2-B5）”和“=A7+A10*（C2-B5）”，在单元格B13和单元格B14中分别输入“=A7+B10*（B2-B5）”和“=A7+B10*（C2-B5）”，如图4.12所示。
图4.12 切线和割线的斜率
第四步，用函数方程在单元格区域A16：B37内输入确定函数曲线上点坐标的计算公式，如图4.13所示。
图4.13 函数曲线上点的坐标
第五步，绘制图像。选中单元格区域A16：B37，依次单击“插入”、图表下拉按钮、“更多散点图（
）...”，选择“XY（散点图）→带平滑线的散点图”，单击“确定”按钮，完成函数曲线的绘制。选择刚绘制的函数曲线，单击右键，选择“选择数据”，在弹出“选择数据源”的对话框内单击“添加”按钮，弹出“编辑数据系列”对话框后，在系列名称内填“=割线”，在X轴系列值内选择填“=Sheet1！$B$2：$C$2”，在Y轴系列值内选择填“=Sheet1！$B$13：$B$14”。按如上操作，再次单击“添加”按钮，分别填“=切线”“=Sheet1！$B$2：$C$2”和“=Sheet1！$A$13：$A$14”，单击“确定”按钮；单击“添加”按钮，分别填“=切点”“=Sheet1！$B$5”和“=Sheet1！$A$17”，单击“确定”按钮；单击“添加”按钮，分别填“=动点”“=Sheet1！$C$5”和“=Sheet1！$B$17”，单击“确定”按钮。
第六步，重新设计Excel的迭代计算功能并实现动画。在“文件”菜单下选择“选项”，在“Excel选项”对话框中单击“公式”副对话框，选择“启用迭代计算
）”，将最多迭代计算次数设为1，最大误差设为0.001，并单击“确定”。这时，如果我们按功能键F9，随着Δx的变小割线沿着曲线向切线方向滑动，此时割线的斜率接近于切线斜率，最后等于切线斜率，此时割线和切线重合，如图4.14所示。
在这个模板中，n、a、b和x0值可以改变，该模板具有通用性和扩展性。
图4.14 导数几何意义的动画演示
