5.1 求非线性方程数值解的几种方法
1.二分法
考察有根区间[a，b]，取中点xk=
（ak+bk），将该区间分为两半，假设中点x0不是f（x）的零点，然后进行根的搜索，即检查f（x0）与f（a）是否同号，如果两者是同号，则说明所求的根x*在x0的右侧，这时令a1=x0，b1=b；否则，根x*在x0的左侧，这时令a1=a，b1=x0。不管出现哪一种情况，新的有根区间[a1，b1]的长度仅为[a，b]的一半。
如此反复二分下去，即可得出一系列有根区间
。其中，每个区间都是前一个区间的一半，因此使用k次二分法后的有根区间[ak，bk]的长度为
当k→∞时有根区间趋于零，也就是说，如果二分过程无限地继续下去，这些有根区间收敛于一点x*，该点显然就是所求的根。
每次二分后，设有根区间[ak，bk]的中点xk=
作为根的近似值，则在二分过程中可以获得根的一个近似序列x1，x2，…，xk，…，该序列必以根x*为极限。
2.迭代法
将方程（5.1）改写成等价的形式
这种方程是隐式的，因而不能直接得出它的根。如果给出根的某个猜测值x0，将它代入（5.2）式的右端，即可求得x1=φ（x0）。可以如此反复迭代计算
确定的数列｛xk｝有极限x*=
，则称迭代过程（5.3）是收敛的，这时极限值x*就是方程（5.2）的根。
上述迭代法是一种逐次逼近法，其基本思想是将隐式方程（5.1）归结为一组显式的计算公式（5.3），就是说，迭代过程实质上是一个逐步显示化的过程。
如果φ（x）满足下列条件：
（1）当x[a，b]时，φ（x）∈［a，b］ ；
（2）对任意x[a，b]，存在0＜L＜1，使
≤L＜1，则方程x=φ（x）在[a，b]上有唯一的根x*，且对任意初值x0[a，b]，迭代序列xk+1=φ（xk），（k=0，1，2，…）收敛于x*。
3.埃特金（Aitken）迭代法
设已知x*的某个猜测值x0，我们将校正值再校正一次x1=φ（x0），又x2=φ（x1），假定φ'（x）改变不大，近似地取某个近似值L，则有
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由式（5.4）推知
这样构造出的改进公式其实是对两次迭代得到的值进行加工。如果将得到一次改进值作为一步，则计算公式如下：
上述迭代过程（5.5）称为埃特金迭代法。
4.斯蒂芬森（Steffensen）迭代法
埃特金迭代法不管原序列｛xk｝是怎样产生的，直接对{xk}进行加速计算，得到序列。如果把埃特金加速技巧与不动点迭代法结合，则可得到如下的迭代法：
上述迭代过程（5.6）称为斯蒂芬森迭代法。
5.牛顿迭代法
牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程f（x）=0逐步归结为某种线性方程来求解。设已知方程f（x）=0有近似根x0，且在x0附近f（x）可用一阶泰勒多项式近似表示为
当f'（x0）≠0时，方程f（x）=0可用线性方程（切线）近似代替，即f（x0）+f'（x0）·
（x-x0）=0，解此线性方程得x=x0-
，从而得迭代公式
式（5.8）称为牛顿迭代公式。
如果f∈C2[a，b]且x*为f（x）在[a，b]上的根，f'（x*）≠0，则存在x*的邻域U，使得任取初值x0∈U时，用牛顿迭代法产生的序列｛xk｝收敛到x*。
f∈C2[a，b]，即f（x）在[a，b]上的二阶可导连续函数。
