3.1 经典电磁场理论
经典电磁学发展的巅峰是麦克斯韦方程组的提出。麦克斯韦方程组是19世纪英国物理学家麦克斯韦在对宏观电磁现象的实验规律进行分析总结的基础上，经过扩充和推广而得出的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程，是一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律。它由4个方程组成：1○描述电荷如何产生电场的高斯定律；2○论述磁单极子不存在的高斯磁定律；3○描述电流和时变电场怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律；4○描述时变磁场如何产生电场的法拉第电磁感应定律。该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律，利用麦克斯韦方程组、洛伦兹力方程和牛顿第二定律，就可以完全描述相互作用的带电粒子以及电磁场的经典动力学行为。麦克斯韦的电磁理论预言了电磁波的存在，并推导出电磁波在真空中以光速传播，进而做出光是电磁波的猜想。麦克斯韦方程组首次出现在麦克斯韦1864年的论文《电磁学的动力学理论》中，由四元数的20个变量和20个方程组成。现在所使用的麦克斯韦方程的数学形式是由反对四元数的赫维赛德（Heaviside，1850–1925）和吉布斯（Gibbs，1839–1903）于1884年以矢量微积分的形式重新表述的。
麦克斯韦方程组有积分和微分两种等价的形式，积分形式表达的物理意义比较直观，每个方程都体现了电磁学理论的重要方面。因此，我们先给出其积分形式：其中，E和D分别为电场的强度矢量和电位移矢量，B和H分别为磁场的磁感应强度矢量和磁场强度矢量，q0和I0为自由电荷和由电荷定向移动形成的传导电流。在真空中，D=ε0E，B=µ0H，其中ε0和µ0为真空介电常数和真空磁导率，且µ0ε0=c-2。在电磁场理论的实际应用中，经常需要知道空间中每一点处电磁场量和电荷、电流分布之间的关系。从数学形式上，就是将麦克斯韦方程组的积分形式化为微分形式：
电磁场可由上述一阶偏微分方程直接求出，而另外一种方便的求解方式是：引入势函数，将方程组变换成方程数量更少的二阶偏微分方程组。针对∇·B=0，引入矢势（vector potential）函数A(r,t)，使
无源的自由空间电磁场通常采用库仑规范（参考附录B）。满足库仑规范的条件∇·A=0时，磁场和电场可以表示为矢势的形式，即
利用矢量公式∇×(∇×A)=∇(∇·A)－∇2A，将式(3.4)代入式(3.2)，可以得到矢势函数A(r,t)满足的波动方程：
很显然，只要在给定的边界条件下求解出上面的方程，找到矢势函数A(r,t)在任意位置r和任意时间t的表达式，就可由式(3.4)给出任意位置和时间的电场E和磁场B。
为求解矢势函数的波动方程，利用分离变量法，令
其中，q(t)只是时间的函数，而u(r)是只依赖于位置矢量r的矢量函数，为方便可取ξ=1。将式(3.6)代入式(3.5)，可得
当我们考虑矢势分量Ai(r,t)=ui(r)，(i=x,y,z)时，可以得到如下微分关系式：
其中，等式左边的矢势函数ui(r)只依赖于空间坐标r，而右边的q(t)只与时间t有关，因此左右两边必为常数。由于左右皆包含二次微分项，则比例常数表示为“平方”的形式。可以证明,在一定的边界条件下拉普拉斯算符的本征值为负值，因此式(3.8)中的比例常数应该带负号。我们定义这样的比例常数为－ω2，既不依赖于时间t，也不依赖于空间坐标r。另外，等式右边与u(r)的分量无关，所以比例常数也与i分量无关。(https://www.daowen.com)
于是，对于矢势函数的空间部分，可以得到亥姆霍兹方程：
以及矢势函数时间部分的振动方程：
由式(3.9)和式(3.10)很容易看出，式(3.5)的解是速度为c、角频率为ω的平面简谐电磁波。从数学上讲，对于任意角频率(ω＞0)，式(3.9)都有解。但物理上的有限空间（如正方体谐振腔），满足一定边界条件的式(3.9)的解使ω只能取有限的离散值。即一切被约束在有限空间内的电磁场都只能存在于一系列分立的本征状态中，每一个本征态将具有一定的振荡频率和空间分布，称为一个模式，记为ωℓ（下标ℓ标记不同的模式）。所有模矢量满足横波条件∇·uℓ(r)=0，且组成正交完备集合：
因此，在有限空间中，多模电磁场的矢势函数展开为
显然，满足式(3.10)的qℓ(t)，除了其振动频率ωℓ受到空间边界条件约束而取离散值外，不受其他限制条件影响。
利用式(3.11)，由式(3.4)可以得出电场和磁场的表达式：
在给定空间内，电磁场所有模式的总能量H表示为
代入E和H，并利用横波条件∇·uℓ(r)=0和矢量运算法则，则电磁场总能量表示为
上式表明，一种电磁场模式的能量与经典力学中具有动量˙qℓ，坐标qℓ的单位质量线性谐振子能量相当，我们称之为场振子。有限空间中，电磁场总能量与一组线性谐振子的总能量相等，这是在经典电磁学和经典力学范畴内得出的结果。在量子论创立初期，普朗克对黑体辐射现象的成功解释，即假定黑体空腔内存在大量谐振子，从而引出能量子假说，开启了量子力学时代。
需要指出的是，有限空间的边界条件导致了可能的波矢量离散化，也就导致出现一系列离散的波函数，但这样的离散化仅仅是边界条件带来的，与辐射场的量子化没有关系。
