3.2.1　经典谐振子的量子化

3.2.1　经典谐振子的量子化

经典物理中，对应于电磁场第ℓ个模的单位质量（m=1）谐振子的哈密顿量为

其中，两个共轭正则变量qℓ和p(p≡˙qℓ)遵守哈密顿方程：

由此，直接可以得到

显然，这正是3.1节中电磁场矢势函数分离变量后时间部分的式(3.10)。

在式(3.12)和式(3.13)中，可以看到磁场B正比于qℓ，而电场E正比于˙qℓ。此外，对比电磁场总能量式(3.14)和式(3.15)，这两种场的关系恰似力学谐振子的坐标和动量之间的共轭关系。因此，很方便依照与力学谐振子相同的方式对电磁场进行量子化。

定义无量纲量：

显然，共轭变量qℓ和pℓ可以表示为

将式(3.21)代入式(3.18)，可以得到第ℓ个模的哈密顿量：

进一步简化为

则坐标和动量算符具有如下形式：

(https://www.daowen.com)

那么，由式(3.24)可得

也就是说，能级降低和能级升高算符满足对易关系：

将式(3.23)中第ℓ个谐振子的哈密顿量表示成算符形式：

利用式(3.29)，则式(3.30)可以简化为

因此，所有谐振子的哈密顿量表示为

因此，可以得到

很容易解得

也就是说，能级降低算符具有负的相位因子。

同理，可以得到能级升高算符的对应表示：