3.2.2 电磁场的量子化
由前面的分析可以看出，电磁场的动力学行为可以用一系列相互独立、遵守一定对易关系的简谐振子来描述，每个模式的量子态用相互正交的态矢量|Ψ〉ℓ来描述，整个电磁场的量子态定义为所有模式量子态的张量积。因此，谐振子的量子化过程就给出了电磁场的量子化。量子化谐振子时，广义坐标和动量的算符化为第一次量子化。而后，由坐标和动量算符引入了算符ˆa和ˆa†，且对于不同的模式，满足对易关系：
因此，多模电磁场的矢势算符可以用产生算符和湮灭算符表示：
系统哈密顿量表示为
前面提到，辐射场的离散化源自于矢势函数A(r,t)空间部分的边界条件限制。电磁场模矢量的具体形式依赖于所考虑物理空间的边界条件。比如，在边长为L的立方体谐振腔中，(3.9)式的解为平面波，模式函数可以表示为
(https://www.daowen.com)
可得
正是因为有限空间中的波数和角频率具有不连续性，约束在腔中的电磁场模才会有离散化特点。
由于矢势函数的二次偏微分方程是线性方程，因此这些平面简谐波叠加而成的非平面波也是方程的解，即满足叠加原理。量子光学中，人们通常将矢势函数A(r,t)表示为正频部分和负频部分之和，即
其中，正频部分A(+)(r,t)包含所有按e-iωℓt(ωℓ＞0)变化的模式，而负频部分A(-)(r,t)包含所有按eiωℓt变化的模式，且A(-)=(A(+))*。在立方体谐振腔中，量子化矢势函数的正频部分A(+)(r,t)可表示为
电场的对应形式表示为
我们把电磁场分解成许多类似谐振子的模式，并量子化每个模式。通过这样的方式，把矢势和电磁场从经典复数形式推广到量子的算符形式。因此，量子光学中对电磁场的描述不再用复数函数，而改用量子态，场的所有信息都包含在量子态中。这里需要强调的是，这个信息只与矢势的含时振幅算符ˆqℓ(t)有关，而与模式函数的空间部分没有关系。
