8.1.1 局域规范不变性与最小耦合哈密顿量
一个质量为m的自由带电粒子的运动由薛定谔方程描述：
其中，V(r,t)为静电势，一般为原子的束缚势。带电粒子的状态由波函数ψ(r,t)描述，并且
给出了在位置r和t时刻发现一个电子的概率密度。
如果对波函数ψ(r,t)做如下变换：
这里，相位α是与空间、时间无关的任意常数，即对波函数的变换与空间、时间无关，此变换称为整体变换（global transformation）。可以发现，波函数经过整体变换后，仍然满足薛定谔方程:
即薛定谔方程具有整体变换不变性。显然，在整体变换下，对于任意α，概率密度P(r,t)保持不变。因此，相位α的选择是完全任意的，两个仅仅常数相位因子不同的波函数代表相同的物理态，这是量子力学中波函数的基本性质。
然而，如果相位是空间和时间的函数，则情况会不同。设变换的形式为
此处为方便，已经引入了约化普朗克常数¯h和电荷量e。该变换中的相位依赖于空间和时间，称为局域变换。局域变换后概率密度P(r,t)不变，但式(8.1)所示的薛定谔方程不再成立。
外尔从规范变换不变性出发，为使描述系统状态演化的薛定谔方程保持局域规范变换不变性，便给周围的场引入系统哈密顿量，由此导出了最小耦合哈密顿量（the minimal-coupling Hamiltonian）。具体导出过程如下：
□由上述局域变换，可以得出逆变换：
对波函数ψ(r,t)求微分，由逆变换可得关系式：(https://www.daowen.com)
将式(8.8)和式(8.9)代入式(8.1)，可以得到波函数
ψ(r,t)满足的方程：
对系统的哈密顿量做如下替代、修正：
则任意波函数的薛定谔方程将被修正为如下形式：
再对波函数做局域变换，则哈密顿量中各项将出现如下变换：
显然，式(8.13)可以看作对势函数进行了式(8.14)所示的规范变换，即A→A′，φ→φ′，利用电动力学的规范自由度将与Λ有关的几项吸收进与哈密顿量的相关项中。在经过局域变换后，新波函数仍满足具有同样形式的薛定谔方程：
因此，为满足局域规范（相位）不变性，需将系统哈密顿量修正为最小耦合哈密顿量形式：
