10.3.2 单模腔中的自发辐射
本节将计算二能级原子与单模共振腔在弱耦合极限下的自发辐射。这个问题最早由珀塞尔在1946年提出，后来人们把这种原子辐射性质的变化称为Purcell效应。
考虑一个处于体积为V0的单模腔中的二能级原子。所谓“单模”指的是腔中只有一个共振模接近原子的辐射频率，腔中当然还有其他模式，但由于这些模式远离与原子的共振所以可以忽略。在弱耦合极限下，可以应用10.2节自由空间中微扰的处理方式，因此辐射率也可由费米黄金定则给出。
设腔模的角频率为ωc，半宽为Δωc，由于腔内只有单一共振模，因此态密度函数g(ω)必须满足
比如，态密度函数采用归一化洛伦兹函数：
如果原子跃变的频率为ω0，则由上式可得
当原子与腔之间发生共振时（ω0=ωc），可以得到
类似自由空间的原子，可以由式(10.40)和式(10.42)得到
其中，系数ζ是归一化偶极方位因子，定义为
自由空间中随机定位的ζ2平均值为1/3。(https://www.daowen.com)
把式(10.47)和式(10.49)代入费米黄金定则，可以得到
这个结果可以和自由空间的结果式(10.43)对比。我们引入Purcell因子FP，定义为
将Wcav和Wfree的表达式代入式(10.52)，可得
在完全共振且电偶极矩沿着电场方向的情况下，上式简化为
Purcell因子是表述腔效应的重要参量。FP＞1意味着腔增强了自发辐射率，FP＜1则表示腔压制了自发辐射。式(10.53)显示出要获得更大的Purcell因子，需要尽可能的匹配腔模和原子跃迁，并尽可能地保证电偶极与腔模场平行；由式(10.54)可以看出，更大的Purcell因子要求腔有更小的模式体积和更高的Q值。另外，共振时腔模中态密度增大也会增强原子的辐射率，而原子与腔模失谐则使光子态密度减小从而压制原子的辐射。
描述腔效应的另外一个有用参数是自发辐射耦合系数β，即辐射进入腔模的光子数与光子总数之比。理想的腔中，β=1。实际的腔中往往存在进入非共振模的光子，因此β＜1。
考虑如图10.5所示的原子与平面腔的共振耦合情形。原子辐射进腔模的比率Wcav由式(10.51)给出。由于自发辐射的方向是随机的，因此光子也可以进入自由空间模式。腔只能影响轴向的量子态密度，因此可以假定腔对辐射进入自由空间的模式密度影响微乎其微。把进入自由空间的模式辐射率记为Wfree，则总的辐射率为Wfree+Wcav。可以得到
因此，可以说Purcell因子越大，β系数越接近1。
图10.5 一个原子与平面腔的共振耦合
