附录B 库仑规范
当描述由电场变化和磁场变化激发的电磁场时，引入势的概念描述电磁场的辐射和传播更为方便。针对磁场为无源场，即∇·B=0，可以引入矢势函数A(r,t)并令B=∇×A。矢势的物理意义可由下式看出：
即任意时刻，矢量A沿任一闭合回路L的线积分等于该时刻通过以L为边线的曲面S的磁通量。
电磁场中的电场，可由静止电荷激发，也可由变化的磁场激发，是有源有旋场，因此不能像静电场那样直接引入电势。由法拉第电磁感应定律可得
至此，电磁场可用两套函数描述––场强函数（B,E）和势函数（A,φ），即
显然，由势函数A和φ表示的B和E仍然满足麦克斯韦方程，而A和φ的动力学行为可由麦克斯韦方程组给出。在仅考虑真空中电磁场的简单情况下，引入势函数后麦克斯韦方程组变为如下形式：
此处，ρ0和j0分别为自由电荷和传导电流的密度。通过引入势函数，可以把麦克斯韦方程的数量由4个减少到2个。方程(B.3)的等号左边为矢势的波动方程，该方程由电流密度j0和标势φ驱动。同样，标势的方程由电荷和矢势驱动。但是，方程中矢势和标势是耦合的，因此求解该方程组仍然是比较困难的。
由定义可知，（B,E）和（A,φ）之间是微分关系，而不是一一对应的。比如，引入一个新的标势函数Λ(r,t)，并做如下变换：
很容易证明，（A′,φ′）和（A,φ）描述的是同一个电磁场，即用势函数描述电磁场时还具有一个额外的自由度。上述两种势函数之间的变换称为规范变换（gauge transformation），描述电磁场性质的方程(B.2)和方程(B.3)在该变换下保持不变，称为规范不变性。选择一种确切的势函数定义，也就是选择了一种规范。我们往往从尽可能简化和求解波动方程出发，选择一种规范。这需要引入适当的限制性条件，即规范条件。在量子电动力学或者量子光学的范畴，往往应用库仑规范（Coulomb gauge）和洛伦茨规范(Lorenz gauge)。
满足条件∇·A=0的规范称为库仑规范。此条件方程中只包含了关于空间的微分，因此库仑规范不具有洛伦兹变换（Lorentz transformation）不变性。在此条件下，标势波动方程(B.2)变为泊松方程：
可以看到，方程(B.5)已经不包含矢势。由该方程很容易解出
即，由电荷密度ρ(r,t)决定了标势φ是瞬时的库仑势，“库仑规范”的名称由此而来。(https://www.daowen.com)
在库仑规范下，由方程(B.3)可以得到矢势满足的非齐次波方程：
方程(B.7)中的标势原则上可由式(B.6)计算得出。此矢势方程包含标势，两个势函数仍然是部分耦合的。可以证明，该等式右边的两项会抵消掉电流密度矢量的纵向（波传播方向）分量，即等号右边正比于电流密度的横向分量[1]。因此，方程(B.7)可以表示为
也就是，电流密度的横向分量决定了电磁场的矢势，且矢势只有横向分量。因此，库仑规范又称为“横规范”。
在无源场中，通常会应用库仑规范简化求解麦克斯韦方程组。显然，对于无源场，φ=0，矢势满足齐次波动方程：
由波动方程，可以看到矢势描述的电磁场以有限的速度c传播。方程(B.9)的解形式为
由库仑规范条件得到∇·A=ik·A=0，即库仑条件保证了矢势与波矢量垂直，A只有横向分量，即A=At。
显然，电场、磁场、波矢三者方向相互垂直。库仑规范下，电磁场直接量子化为横波光子。
满足条件
的规范称为洛伦茨规范。条件方程(B.12)中包含了标势关于时间的一阶微分和标势的散度，因此满足此条件的洛伦茨规范具有洛伦兹变换不变性。此外，A是一个有旋有源场，包含横场和纵场部分。此条件下，方程(B.2)和方程(B.3)分别变成
称为达朗贝尔方程（d’Alembert equation）。可以看出，在洛伦茨规范下，麦克斯韦方程组简化为标势和矢势的对称方程，且标势和矢势不再相互耦合。
【注释】
[1]JACKSON J D.Classical Electrodynamics[M].3rd Ed.London:John Wiley 
Sons Ltd.,1998.
