C.2.2 指数分布
若随机变量Y的概率密度函数为
其中，λ＞0为单位时间（空间）内事件发生次数的平均值,则称随机变量Y服从指数分布（exponential distribution），记作Y～Exp(λ)。指数分布的概率密度函数和累积概率函数的曲线变化如图C.7和图C.8所示。
图C.7 指数分布的概率密度函数（λ=0.1）
图C.8 指数分布的累积概率函数（λ=0.1）
连续型随机变量的指数分布与离散型随机变量的泊松分布是相互联系的，泊松分布描述了每一个区间中事件发生某次数的概率，指数分布则描述了两个相邻事件之间为某间隔长度的概率。设满足泊松分布的随机变量X描述事件发生的次数，随机变量Y的取值y描述两个事件之间的时间（空间）间隔。对于y=s,即在s间隔内发生事件的次数为0，代入泊松分布的概率质量函数，则有
显然，在s间隔内事件发生1次及以上的概率为
对连续的间隔变量Y来说，上式对应着变量Y的取值在[0,s]区间内的累积概率，即
对时间（空间）求导，可以得到关于时间（空间）间隔的概率密度函数:
另外，λ为单位区间内发生次数的平均值，即发生频率，则µ=1/λ表示两次事件之间的平均间隔。因此，式(C.12)的概率密度函数又可以表示为如下形式：
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可以求出指数分布的平均值和标准差分别为
即，指数分布的平均值和标准差相等。
指数分布有很广泛的应用，我们常用它来作为各种“寿命”分布的近似。例如，电子元件的寿命、电话通话时间、稳恒弱激光束中光子到达的时间间隔、复杂系统中两次故障的时间间隔等都服从指数分布。指数分布的一个重要性质为无记忆性，如设X表示产品的寿命，且X～exp(λ),已知产品工作了s小时，则它再工作t小时的概率与已工作时间s无关，而好像一个新产品开始工作那样。所以，在已知产品仍然完好的情况下就进行更换的做法是没有必要的。
例某一设备有4个同类型的三极管，它们的寿命X的概率密度函数为
求：(1)参数λ的值；(2)一个三极管寿命超过1 250小时的概率；(3)该设备在使用了1 250小时后需要更换三极管的概率。
解：(1)由概率密度函数p(x)的基本性质可得
(2)一个三极管寿命超过1 250小时的概率为
(3)设Y表示4个三极管中损坏的个数，显然Y～B(4,1－p)。又由于至少有一个三极管损坏就需要更换，则需要更换的概率为
【注释】
[1]离散型随机变量的概率分布由概率质量函数给出，连续型随机变量的概率分布函数由概率密度函数给出。
