设立经过和名额
《汉书·武帝纪》元朔五年：“夏六月诏曰，盖闻导民以礼，风之以乐。今礼坏乐崩，朕甚闵焉。故详延天下方闻之士，咸荐诸朝。其令礼官劝学，讲议洽闻。举遗兴礼，以为天下先。太常其议予博士弟子，崇乡党之化，以厉贤材焉。丞相（公孙）弘请为博士置弟子员，学者益广。”（《通鉴》卷一九汉武纪所记同。）
《汉书·儒林传》：“及（武帝祖母）窦太后崩，武安君田蚡为丞相，黜黄老刑名百家之言，延文学儒者以百数，而公孙弘以治《春秋》为丞相，封侯，天下学士靡然乡风矣。弘为学官，悼道之郁滞。乃请曰，丞相御史言，制曰盖闻导民以礼，风之以乐，婚姻者居室之大伦也，今礼废乐崩，朕甚愍焉，故详延天下方闻之士，咸登诸朝，其令礼官劝学，讲议洽闻，举遗兴礼，以为天下先，太常议予博士弟子，崇乡里之化，以厉贤材焉。谨与太常臧博士平等议曰，闻三代之道，乡里有教，夏曰校，殷曰庠，周曰序，其劝善也，显之朝廷，其惩恶也加之刑罚，故教化之行也，建首善，自京师始，繇内及外。今陛下昭至德，开大明，配天地，本人伦，劝学兴礼，祟化厉贤，以风四方，太平之原也。古者政教未洽，不备其礼，请因旧官而兴焉，为博士官置弟子五十人。……制曰，可。”
据此，是汉世博士弟子之设始于汉武帝元朔五年，而倡议者为公孙弘。
上述博士弟子虽是汉武所创，但博士弟子一名却老早已有。《汉书·贾山传》：“贾山颍川人也，祖父袪，故魏王时博士弟子也。”师古注曰：“六国时魏也”。据此，是先秦已有博士弟子了。此外，
《汉书·董仲舒传》：“少治《春秋》，孝景时为博士，下帷讲诵，弟子传以久次相授业，或莫见其面。”
《汉书·文翁传》：“景帝末为蜀郡守，仁爱好教化，见蜀地辞陋有蛮夷风，文翁欲诱进之。乃选郡县小吏开敏有材者张叔等十余人，亲自饬厉，遣诣京师，受业博士，或学律令。减省少府用度，买刀布蜀物，赍计吏以遗博士。”师古曰：“少府，郡掌财物之府，以供太守者也。刀，凡蜀刀有环者也。布，蜀布细密（环）也。二者蜀人作之皆善，故赉以为货。”
这又是武帝父景帝时，博士已经教书和已有弟子了。(https://www.daowen.com)
不过，先秦和汉景之时虽然已有博士弟子，但先秦博士弟子与汉不同，固不待言。即汉景时的博士弟子，他们与博士的关系，也只是一种私相授受的私人师生关系。至于官立五经博士，官为博士设置弟子，则仍创自武帝。
博士弟子有多少呢？
《汉书·儒林传》：“（公孙弘请）为博士官置弟子五十人，……（武帝）制曰，可。……昭帝时，……增博士弟子员满百人。宣帝末，增倍之。元帝好儒，能通一经者皆复〔师古曰，捐其徭赋也。〕。数年，以用度不足，更为设员千人。……成帝末，或言孔子布衣，养徒三千，今天子太学弟子少，于是增弟子员三千人，岁余复如故。平帝时，王莽秉政，增元士之子得受业如弟子，勿以为员〔师古曰，常员之外，更开此路。〕。”
《通鉴》卷五三东汉质帝本初元年：“夏四月庚辰，令郡国举明经诣太学。自大将军以下，皆遣子受业。岁满课试，拜官有差。又千石、六百石、四府掾属、三署郎、四姓小侯先能通经者，各令随家法，其高第者上名牒，当以次赏进。自是游学增盛，至三万余生。”
《太平御览》卷五三四学校引《黄图》曰：“王莽为宰衡，……立博士领弟子员三百六十。六经三十博士，弟子万八百人。”
此外《后汉书·和帝纪》永元十二年、《后汉书·翟酺传、党锢传》、《通鉴》卷二八汉元帝初元五年、卷二九汉元帝永光三年、卷三二汉成帝绥和元年、卷五五汉桓帝延熹九年及《太平御览》卷四六五谣条所引袁山松《后汉书》，卷五三四学校条所引《三辅旧事》，也都有博士弟子人数的记述。将所有以上材料贯穿起来看，可知汉武以后博士弟子也就是太学生人数，由五十而一百，而二百，而一千，而三千，西汉最多时期达到万余，东汉则达到三万余。