13.6.6　齐同原理

上元至少满足四个条件：甲子岁甲子日零时冬至合朔。

我们把甲子岁甲子日夜半冬至合朔的提法，划分标注成：①冬至为岁之始；②平朔为朔望月之始；③甲子日为日名干支周期之始；④甲子岁为岁名干支周期之始。对单独提到的夜半为一日之始，不标序号。合称为齐同四条件。

观象授时，见到的是日月星辰运动周而复始。周期首尾间隔，称为周期长度。古人提到某个周期，往往考虑其首，而不是其尾。

周期度量基本公式　开禧历使用单个周期度量，或累减，或除，称“满……去之”。不足周期长度的余数，称“不满”或“入某某”。周期度量基本公式，当各项单位统一时，如开禧历入元岁公式：演纪积年（7848180岁）满气元（19500岁）去之，不满为入元岁（9180岁）。当首项单位不统一时，把岁换算成日法分，如开禧历的气骨公式：岁率6172608（分/岁）×演纪积年（7848180岁），满纪率1014000（分）去之，不满为气定骨193440（分）。

度端与周期齐同　如果周期不止一个，一是约定相关周期的总起点，二是需要综合成反映这些相关周期的更大周期，当作单个周期进行度量。

齐同处理法最早可见于《续汉书·律历志下》历法[20]：“察日月俱发度端，日行十九周，月行二百五十四周，复会于端，是则月行之终也。”约定的“俱发度端”，与“复会”的“端”构成日和恒星月两个周期所综合成较大周期的首尾。

约定基本周期回归年、朔望月、干支纪日、干支纪岁的总“度端”上元，并把4个基本周期逐级齐同成适当大周期，四分历就可把周期度量基本公式各种可能变化，或过剩或不足的数据，统统归算到齐同后的大周期。“岁首至也，月首朔也。至朔同日谓之章，同在日首谓之蔀，蔀终六旬谓之纪，岁朔又复谓之元。……然后虽有变化万殊，赢朒无方，莫不结系于此而禀正焉。”

齐同，等量齐观，在中国古代哲学和传统数学中，有着深刻的背景。庄子《齐物论》体现万事万物自然齐同的境界。刘徽在注《九章算术》合分术中，用齐同阐释通分的理论依据：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同，共一母也。齐者，子与母齐，势不可失本数也”“乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎”。刘徽又以齐同解释方程术的直除消元法。

1208年的开禧历对气纪数据使用齐同原理，利用①、③和④条件，导出气元概念。此外，所用蔀的含义亦有所变动。四分历中，蔀为冬至①、平朔②与夜半一会；开禧历中，蔀则是325岁，数值上为日法16900除以等数52。