上元积年的源流_天文地球

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内容简介

这本小册子，挖掘1208年鲍浣之的开禧历计算的原文、原术、原意及1247年秦九韶的《数书九章》大衍术，剖析公元前104年邓平、落下闳的太初历，公元前7年刘歆的三

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自序

回想1978年，那是个激情燃烧的年代，我有幸成了恢复高考后第一批大学生。学生证上的照片，正是插队时的三十周岁纪念照，自己拍给自己看看，那种感受，只有自己知道。

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第一章　不定分析

不定分析问题受天象观察历法编制的刺激而诞生，古今中外，概莫能外。(https://www.daowen.com) 不定分析的史料与研究，围绕着整数对现象而展开。

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1.1　不定分析小史

至少4 400余年前，古代中国人开始观察天体运行。以太阳一日行一度，积累数据，形成历数，逐渐形成太阳一岁行一圈的天度圈概念。公元前104年，汉武帝编制太初历。

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1.2　史料的整理

不定分析问题源远流长，肇始于天文历法，昌明于近代数论，上下两千年，纵横欧亚大地。希腊、中国和印度等文明古国的先哲们，为人类文明史留下了浓重的一笔。不定分析史料

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1.3　史料的研究

观察本书目录，各章内容表面上看似杂乱，实际上分属三个系统：史料遗产，数学系统和数学史研究系统。第一个是史料遗产。人类文明进展，尤其在古代，是相当重复而不协调的

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1.4　历法的研究

随着天文、数学的进步与发展，中国古代历法的历史进程可分作如下四个阶段：（1）古代，先秦两汉至南北朝。这一段历法主要以平运动计算中朔和日月五星的位置。（2）中

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参考文献

[1]程贞一.黄钟大吕[M].王翼勋，译.上海：上海科技教育出版社，2007：72. [2]Dickson.History of the Theory of N

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第二章　上元积年的起源

本章介绍上元积年的天象背景、基本要点和前辈探索的思路。(https://www.daowen.com)

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2.1　上元积年

从春秋战国到秦朝时期制定的黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁六种历法，称为古六历。唯颛顼历一直用到（前104年）汉武帝改历，编制太初历止。古六历至今只存一些零星材料。黄

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2.2　历元

时间点（时刻）和时间长度（时期）是历法研究中两个极重要的概念。如果能够在过去时期里，找到平朔、冬至（古六历中有用立春的）同在夜半的一天，就叫它历元。从历元这一

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2.3　七星连珠天象

西汉初期经济的发展和天文历法知识的积累刺激着历法改革，是推动历元概念发展的温床。要讲上元积年的来历，我们首先介绍一个罕见的天象，叫作七星连珠。这里所说的是发

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2.4　太初历历元

公元前104年，就有一次类似的五星连珠现象。元封七年十一月初一恰恰是甲子日，又恰恰交冬至节气。这是一次千载难逢的机会。汉武帝在那一年五月下令议造新历。这就是太初

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2.5　探索思路

1980年李文林、袁向东[2]研究指出，汉代计算上元积年，需要解一到两个相当简单的一次同余式或者一次不定方程。例如，三统要求历元起于冬至、朔旦、甲子日夜半，同

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2.6　具体细节

李文林、袁向东推测，推算三统上元之关键，是“汉历太初元年……前十一月甲子朔旦冬至，岁在星纪婺女六度”。假设从三统历元到太初元年的积年数为N，应是一元4617的倍

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参考文献

[1]秦九韶.数学九章[M].四库全书文渊本.上海：上海古籍出版社，1989：368-384. [2]李文林，袁向东.论汉历上元积年的计算[C]//自然科学史研

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第三章　筹算除法

加、减、乘、除四则运算中，对于除法意义的探究，最为引人入胜。整数除法是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。小学里的除法，有两种意义：一是平均

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3.1　传统数学的萌芽

中国是世界著名的文明古国，和古代巴比伦、埃及、印度等一样，也是人类文化的发祥地。数学作为中国文化的重要部分，其起源可以追溯到遥远的古代。根据古籍记载、考古发现

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3.2　筹算除法

中国传统数学利用算筹进行运算。根据《孙子算经》，整数乘法布算三行，被乘数在上，乘数在下，“以上命下，所得之数列于中位”，而“凡除之法，与乘正异。乘得在中央，除

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3.3　实如法而一

筹算分数的记法启示了后续数学的发展。《孙子算经》首次介绍筹算记数、筹算乘法和筹算除法。《周髀算经》《九章算术》有计算乘、除、开方的数例，出现大量“四而一”“十

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3.4　求等数法

传统数学中，求等数术有减法和除法两种形式。(https://www.daowen.com)

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3.4.1　求等数术减法形式

更相减损一词，首现于公元前1世纪《九章算术》方田章的约分术中：约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。以

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3.4.2　求等数术除法形式

现存史料上未曾见到单独的求等数术除法形式。但1208年原筹算图中，删除左列，右列上下就是传统数学的求等数除法形式。 6172608和16900递互除之，等数自然

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3.5　满去式

传统的余数来自减法或除法。物不知数问题用减法，称“三三数之”“五五数之”。数学史研究中，很有必要根据文字记载中古人用语，采用满去式一词来描述中国传统不定分析知

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参考文献

[1]周全中.筹算的乘除[J].齐鲁珠坛，2001（1）：11-12. [2]钱宝琮.中国数学史[M].北京：科学出版社，1964：164-166.(https

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第四章　传统数学的不定方程

传统数学的不定方程，思路独特，只宜单独讲述，故安排在此。(https://www.daowen.com)

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4.1　早期的百鸡问题

《九章算术》成书于公元1世纪左右，其作者已不可考。西汉张苍、耿寿昌增补和整理时，《九章算术》已大体成形。再经历代各家增补修订，才逐渐成为现今定本。最后成书最迟在

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4.2　除乘消减法

1247年，秦九韶在《数书九章》治历演纪题中，叙述了不定方程的鲍浣之筹算解法。今人相乘演积年，其术如调日法，求朔余朔率，立斗分岁余，求气骨朔骨闰骨，及衍等数约

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4.3　大衍求一与递增递减

一般认为，要到19世纪晚清时，宋元数学复兴后，才有把不定方程和求一术（一次同余式解法）结合起来的讨论[1]。李锐最先在《日法朔余强弱考》（1799年）中，把调

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《上元积年的源流》简介