14.6.1 原题原术

14.6.1 原题原术

推库额钱

问有外邑七库,日纳息足钱适等,递年成贯整纳,近缘见钱希少。听各库照当处市陌,准解旧会。其甲库有零钱一十文,丁庚二库,各零四文,戊库零六文,余库无零钱。甲库所在市陌一十二文,递减一文,至庚库而止。欲求诸库日息元纳足钱展省及今纳旧会并大小月分各几何?

答曰:诸库元纳日息足钱二十六贯九百五十文,展省三十五贯文。

甲库日息旧会二百二十四贯五百一十文,大月旧会六千七百三十七贯五百文,小月旧会六千五百一十二贯九百二文。

乙库日息旧会二百四十五贯文,大月旧会七千三百五十贯文,小月旧会七千一百五贯文。

丙库日息旧会二百六十九贯五百文,大月旧会八千八十五贯文,小月旧会七千八百一十五贯五百文。

丁库日息旧会二百九十九贯四百四文,大月旧会八千九百八十三贯三百三文,小月旧会八千六百八十三贯八百八文。

戊库日息旧会三百三十六贯八百六文,大月旧会一万一百六贯二百四文,小月旧会九千七百六十九贯三百六文。

己库日息旧会三百八十五贯文,大月旧会一万一千五百五十贯文,小月旧会一万一千一百六十五贯文。

庚库日息旧会四百四十九贯一百四文,大月旧会一万三千四百七十五贯文,小月旧会一万三千二十五贯八百二文。

术曰:[同前]以大衍求之。置甲库市陌,以递减数减之,各得诸库元陌。连环求等,约奇弗约偶,得定母。诸定相乘为衍母。以定约衍母,得衍数。衍数同衍母者,去之为无[无者,借之同类]。其各满定母去,余为奇数。以奇定用大衍求乘率,乘衍数为用数。无者则以元数同类者求等,约衍母,得数为借数。次置有零文库零钱数,乘本用数,并为总数。满衍母去之,不满为诸库日息足钱。各大小月日数乘之,各为实。各以元陌约为旧会。

这个问题反映了一次同余式组

N≡10(mod 12)≡0(mod 11)≡0(mod 10)

≡4(mod 9)≡6(mod 8)≡0(mod 7)≡4(mod 6),

此式满足可解条件。

术曰:以大衍求之。计算如下表(表14.11)。

表14.11 推库额钱题计算

依赖余数数据的巧合,设立了调用数法。

此题术文中“衍数同衍母者,去之为无”下有小字注说,“无者,借之同类”,下文又有“无者则以元数同类者求等,约衍母,得数为借数”,考虑了衍数与衍母相等的情况。这个调用数例子,归纳在大衍总数术中:“或定母得一,而衍数同衍母者,为无正用,当验元数同类者,而正用至多处借之。”

这些内容,汇集到14.13“不必要的调用数”中去讨论。

秦九韶没有记录他化约问数12,11,10,9,8,7,6的具体过程。