技术性附录

1.校正太阳时

在本书的核心章节中，我们假定了如果一个视太阳日（apparent solar day）被定义为两个相继的本地正午之间的时间间隔的话，则恒星完成周日循环所需的时间总是比这种太阳日正好短4分钟（更准确地说是3分56秒）。但是正像在第一章的脚注中提到的，事情并不完全是这样。如果相继的本地正午之间的时间间隔完全保持不变的话，那么恒星必定以不均匀的速率运动。反之，如果恒星在相等的时间间隔内完成相继的周日循环，那么相继的太阳日的长度一定是不同的。这一事实在古代就认识到了，至少是在托勒密时代，很可能更早。为了理解这个问题，我们依照古人的作法，假设恒星的视运动完全均匀，因而恒星提供了一个基本的时间尺度。我们会发现有两个不同的理由导致太阳每天达到最高点的时刻之间的间隔一定发生变化。

视太阳时不均匀性的第一个原因是太阳通过黄道十二宫的速率看起来有变化。正如我们在第二章看到的，太阳在黄道上从秋分点到春分点比从春分点到秋分点运行得更快。因此在太阳跟恒星每天的赛跑中，太阳在冬天会比在夏天落后得更快，所以如果以恒星来计量时间的话，那么在冬天太阳回到最高点花费的时间肯定比在夏天要长。结果视太阳日将在仲冬最长，在仲夏最短。如果导致不均匀性的另一个原因不插进来的话，情况就是如此。

视太阳日可变性的第二个来源是黄道与天球赤道的交角。为了理解它的影响让我们回顾第一章的图13，并设想天球上画有等距的天经线，就好像所有地球仪上都画有的经线一样。为简单起见，再假设太阳沿黄道的视运动完全均匀，以每天1°的速率沿大圆运行。于是我们得出：因为黄道相对于天赤道是倾斜的，所以太阳的净东向运动在相邻两天中会发生变化。当太阳达到或接近一个至点时，它相对于恒星的视运动几乎与天赤道平行。而且，此时它所经过的天球部分比起天赤道处来说经线更为密集。结果造成太阳净东向运动的速率略大于每天天经1°，因此天球必须向西转361°多一点儿才能带动太阳从一次最高点到达下一次最高点。在分点上的情况完全不同。在那里天经线之间的跨度是球面上最大的。此外，太阳恒定的总运动是向着东北或东南而不是正东方，因此它每天向东运行不足1°。其结果是天球不必转够361°就可使太阳回到最高点。这种影响，如果单独考虑的话，将使得视太阳日在至点最长而在分点最短。

为了修正这两种不均匀性，现代文明采用了称为平太阳时（mean solar time）的时间尺度，其基本时间单位是视太阳日的平均长度。根据定义，在这种时间尺度下恒星的运行是完全均匀的，完成周日旋转用时23小时56分4.091秒。但这种使恒星运行均匀的尺度却使得太阳的运行不均匀了。例如，太阳的最高点很难在平太阳时的本地正午出现。日晷是唯一直接测量视太阳时的仪器，它所显示的时间并不像我们的手表和电台报时信号显示的时间那样以不变的速率流逝。在12月和1月期间，前面讨论的两种效应都发生作用，使得视太阳日变短，太阳相继的最高点之间的间隔比平太阳日少将近0.5分钟。而且，这种微小差异的效果是会累加的——视时间在连续的很多天中都比平时间走得慢——以至于在一年的某个季节里太阳到达最高点（视正午）比平太阳正午提早了近20分钟。在其他季节里，视时间走得比平时间快，从全年来看二者保持一致。但是它们几乎在任何一天中都不相等。因此要靠太阳来保持精确的时间，就需要用一张表格或者图53那样的曲线图去校正日晷。

前面对时间的讨论采用恒星的视运动作为均匀性的标准。显然这种标准的选择是任意的，至少从逻辑的观点来看是这样。从逻辑上我们同样可以选用太阳的视运动作为我们的均匀性标准，在相应的时间尺度下，显示出恒星以不断变化的速率运动。但是选用太阳作为均匀性标准对科学研究和日常生活都极其不便。图53的曲线图将不得不应用于钟表而非日晷。天文学家和物理学家都将不得不去描述地球绕轴旋转速率的不断变化。恒星标准（stellar standard）避免了这些麻烦。它很适合所有的日常功用和大部分的科学功用。

然而还不能证明它完全胜任科学的需要，至少对科学理论还不行；暗含在牛顿运动定律中的时间尺度并不完全对应于恒星标准。按照今天对牛顿定律的理解，由它们可以证明地球的绕轴旋转正在因为潮汐摩擦等效应而逐渐变慢，其结果是使恒星视运动逐渐减慢。因此，或者牛顿定律，或者恒星标准必须做出调整，出于科学简洁性的考虑，必须去寻找新的标准。预期恒星标准何时将在理论上失效并没有实用的意义。但对于科学是极为重要的，它引导科学家去重新寻找一种时钟，能比天空这架机器本身更为精确地符合科学理论的时间尺度，这种探索今天仍在继续。

2.分点岁差

本书的主要部分引入的另一个技术性简化就是忽略了分点岁差，就是造成天极在恒星中缓慢运动的那种现象，这在第一章中曾简要地提及。如果我们只考虑一位天文学家终其一生所做的肉眼观测的话，这种简化完全恰当——肉眼观测不会发现它的不精确，除非是时间上相隔很远的观测。但是相隔比方说两个世纪的观测显示，尽管恒星自身维持相对位置不变，但它们所围绕的天极逐渐在它们当中改变了位置，速率是每个世纪0.5°多。在长得多的时期内反复的观测，揭示了这种岁差运动（precessional motion）的模式；随着数个世纪的过去，天极会在恒星中做缓慢的圆周运动，每26000年完成一次循环，圆周的中心是黄极——垂直于黄道平面的直径跟天球的交点——圆周的半径正好是23½°，等于恒星天球上黄道与天赤道的交角［图54（a）］。

岁差运动问题似乎最早是在公元前2世纪为希腊化时期的天文学家希帕克斯所关注，尽管它起初并未被广泛地知晓，但却被随后的许多天文学家所讨论，其中包括托勒密。托勒密的大多数穆斯林继承者都描述了这种效应的某些形式，并通过在古代体系上增加第九个天球，成功地从物理上对它做出了解释。他们最流行的解释如图54（b）所示，其中画出了系统最外层的三个天球；N和S分别是北天极和南天极，外层的天球围绕它们向西旋转，每23小时56分旋转一周，这与旧体系中恒星天球的转速相同。下一层的天球，即图上中间的那个天球，是携带着恒星的天球，它靠一条穿过恒星天球黄极的轴与最外层的天球相联，这条轴线穿过分别与外层天球两极相隔23½°的两个点。新的恒星天球被最外层的天球带动每天旋转一次（这就描述了恒星的周日旋转）。此外它自身还有一个缓慢的运动，每26000年旋转一周，逐渐改变单个恒星与天极之间的位置关系。三个天球中最内层的是土星天球，它被画成一个很厚的壳层，是为了给土星运动的本轮组件以足够的空间。这个厚厚的壳层靠穿过黄极的轴与恒星天球相联接，它本身就描述了土星在恒星当中的平均圆周运动。

在古代和中世纪天文学思想的语境下，岁差的第九天球解释看起来既简单又自然。实际上，它并不亚于哥白尼的解释——地轴缓慢的圆锥运动在26000年的过程中依次指向以黄极为圆心，半径为23½°的圆上所有的点。在牛顿将岁差解释为月球引力吸引地球赤道隆起区的物理后果之前，哥白尼派和托勒密派天文学家都需要一个额外的、物理上多余的运动来描述它。[1]因此，岁差跟地心宇宙到日心宇宙的转变并无逻辑上的联系。

不过从历史上看，岁差的解释问题对于开启哥白尼革命起到了非常重要的作用。因为它有助于使托勒密天文学显得很不合理。岁差的观测结果非常微小，甚至观测延续了几个世纪也是这样，因此数据上一个小小的错误亦可导致对整体现象描述的根本改变。希帕克斯和托勒密都通过与图54所示方法定性等价的途径解释岁差，但他们的许多同代人完全否认这种现象的存在，或是以极为不同的方式描述它。特别在穆斯林世界流行着对岁差的很多不同描述。对它的速率也没有一致意见——实际上，许多天文学家相信它的速率是变化的。另外还有一个重要的学派认为连岁差的方向都是周期性变化的，这一现象被称为震颤（trepidation）。在天文学家能够再度认识这一现象真正的简单性之前，第谷·布拉赫的观测是必需的。哥白尼自己没能使情况有丝毫的改进。为了描述岁差速率的逐渐变化和其他并不存在的现象，他在自己的体系中添加了额外的圆周。尽管哥白尼未能改进古代和中世纪天文学家对岁差的描述，但他却对此给予了极大的关注，这种关注为天文学革新提供了重要的动力。在哥白尼时代，对于解决实用天文学中最迫切的问题——改革儒略历而言，充分描述岁差是基本的先决条件。

要发现岁差对于历法设计的影响就要再次回到图54。正如图中显示的，黄道在恒星天球上的位置一旦固定，永远都不会变了。尽管天极的位置变化并不影响黄道，但是会改变天赤道的位置，从而也改变了分点的位置，因为分点是黄道与天赤道的交点。在26000年的岁差周期中，每个分点都在以每个世纪约1½°的速率沿黄道缓慢平稳地移动。因此，太阳沿黄道运行一周的时间（称为恒星年）并不等于它在黄道上从一个春分点运行到下一个春分点所用的时间（这被称为回归年）。后者比前者短20分钟以上。回归年的测定要困难得多，因为它把太阳的运动参照于一个想象中的动点，而不是固定的恒星。但是回归年是季节的年份，在设计一个准确的长期历法之前，是必须要精确地加以测定的。因此，对历法的关注促使哥白尼对岁差进行了认真的研究，从而对托勒密天文学家中分歧最大的那方面取得了深入的了解。正是岁差问题支撑着哥白尼的那句评论：“数学家……甚至连季节年的恒定长度都无法加以解释和观测”（见第138页），这个评论也正是他进行革新的首要动机。

3.月相与蚀

由于对月相成因的古代解释与现代解释相同，所以它在哥白尼革命中并没有起到什么作用，因此它在本书前面的一些章节中是可以忽略的。但是月相对古代宇宙尺度的测量起到了直接的作用，而且正如我们不断强调的，这些测量有助于使古代的两球宇宙对科学家和非科学家都显得同样具体而真实。另外，古代对月相的解释，以及与之互相关联的对月蚀的解释，都为古代世界观的科学充分性提供了又一重要例证。

我们这里所讨论的解释到公元前4世纪末已经在希腊为人熟知，而它的起源可能早得多。随着两球宇宙被接受，出现了一种被或多或少记录下来的假说，即天上所有的漫游者都是球形的。这种假设部分源于对大地和天空的球状外形的类比，部分源于球形完美且适合于完美的天界的观念。更为直接（虽然并不完整）的证据是来自观测到的太阳和月亮的横截面。如果月亮是一个球形，远处的太阳就只能照亮它表面的一半［图55（a）］，亮的半球能被观测者看见的部分必定随着观测者位置的变化而变化。太阳上的观测者能随时看到这整个半球；当月球处于观测者和太阳之间时，在地球上仰望月球的观测者无论怎样都不可能看到被照亮的那个半球。因此，月球表面对地面观测者清晰可见的部分必然取决于太阳、月球和地球三者的相对位置。

图55（b）显示了太阳与月球在一个朔望月中相隔同样时间的四个时期的四种相对位置，它描绘的是黄道平面上太阳和月球的以地球为中心的轨道。（由于在对月相的讨论中只有相对位置有意义，所以这张图可轻而易举地适用于日心宇宙。）将整张图向西旋转，除了中心的地球外，这描述了太阳和月球的周日运动，因此a点的观测者看到日落而b点的看到日出。只有太阳和月球的东向轨道运动才是相对于这张图的运动。当月球处于图中的位置1时，它与太阳一同升起，但由于它的暗面朝向地球，所以地面观测者几乎看不到它。这是新月的位置。经过略多于一周的时间，月球快速的轨道运动将其带到缓慢运动的太阳所处位置偏东90°的地方，相对于太阳出现在位置2。现在它正午升起，日落时处于天顶附近。只有半个盘面可以在地球上清楚地看到，所以这是上弦月的位置。再经过一周多一点的时间，月亮是满月，在日落时升起（位置3）。下弦月出现在位置4，相应地，月亮大约在半夜升起，日出时处于天顶附近。(https://www.daowen.com)

这张用于破解月相的图还可以用来解释蚀；当月球从位置2移动到位置4时，它可能会经过地球的阴影，在这种情况下月亮会变暗，这就是月蚀。如果月球总是出现在黄道上，那么每当它到达位置3时都会出现蚀，但由于月球不断向南向北徘徊，所以满月、地球和太阳很少位于同一直线上。满月一定要接近黄道才会发生月蚀，这在一年中不可能发生两次以上，也极少达到两次。只要当处于位置1的月球在地球上投下阴影时日蚀就会发生，故相对较为频繁，每年至少两次。然而日蚀极少被地球上的观测者看到。因为月球在地球上的阴影面积非常小，而观测者必须要在阴影中才能见到蚀。另外，月球往往只能遮住太阳盘面的一小部分。因此，处于某一位置的观测者连日偏蚀都很少见到，日全蚀可能从未见过。对他来说，蚀是罕见、惊人、有时甚至可怕的现象。

4.古代对宇宙的测量

古代天文学的一个最有意思的技术应用就是测定宇宙的距离和尺寸，这种测量无法直接进行，也就是说，不能靠日常量尺。这些距离的测量比其他大部分应用更直接地显示了古代世界观的丰富性，因为它们所凭借的数学运算失去了全部物理意义，除非概念图式中某些要素是真实的。举例来说，无论地球是一个扁平的圆盘还是一个球体，恒星都表现出周日循环的运动，因此描述这种视运动的技术总是有用的，无论其概念基础是什么。但只有当地球真的是一个球体时，才能说它有周长，才可以通过下面要讨论的对天空的观测来测定。

关于地球周长测量的最早文献出现在亚里士多德的著作中，所以这种测量可能是在公元前4世纪中期做出的。但我们只知道这些最早期测量的结果，并不了解它们所用的方法；我们拥有相对完整（尽管是二手的）记述的第一次测量是由埃拉托色尼做出的，他是公元前3世纪亚历山大里亚图书馆的馆长。埃拉托色尼测量了正午太阳光线与亚历山大里亚（A点）一个垂直的日晷指针之间的夹角a（图56），同一天正午太阳直射在亚历山大里亚正南方5000斯塔第（stades）的另一座埃及城市塞恩[2]（S点）。他发现这个角度是一个整圆的1/50（即7⅕°）。因为从非常遥远的太阳射到地球表面的所有光线可以视为平行的，所以角a（亚历山大里亚的太阳与天顶的距离）就等于S和A对地心O所张成的夹角∠AOS。进而，由于这个角恰好是一个圆的1/50，因此从亚历山大里亚到塞恩的距离就是地球周长的1/50，所以地球整个周长一定是50×（亚历山大里亚到塞恩的距离）=50×5000=250000斯塔第。大部分现代的学生都以为埃拉托色尼的估算只比今天的测量结果（24000英里）少大约5％，但不幸的是这一点无法证实。埃拉托色尼所使用的单位“斯塔第”的长度并不清楚，而已知的亚历山大里亚和塞恩的位置并不能用于定义这个单位，因为在上面的计算中所用的“5000”和“1/50”明显都是“四舍五入”过的，这是为了使记录较易阅读。

第二组测量结果是公元前2世纪由萨莫斯的阿里斯塔克给出的，他现在更多的是因为预期了哥白尼体系而著名。他借助月亮正好半圆时太阳和月球的中心对地球所张的角∠MES估算出到太阳和月球的距离以及它们的尺寸（图57）。因为只有当地球和太阳对月球的张角∠EMS正好是直角的时候，月亮才会是半圆，所以∠MES的大小完全决定了以月球、地球和太阳为顶点的直角三角形的形状。阿里斯塔克的测量得出∠MES=87°，相应于三角形的两条边ES∶EM=19∶1。由此他得出太阳到地球的距离是月球的19倍，因为月亮和太阳对地球的张角相等（图58），故太阳的大小也是月球的19倍。

现代测量依靠完全不同的技术和望远镜的帮助得出的结果显示，阿里斯塔克测出的比值小了不止20倍；ES∶EM接近400∶1，而不是19∶1。误差来源于∠MES的测量，这个角度应为89°51′，而不是87°。实际中那种测量是非常困难的，特别是使用已知阿里斯塔克能用到的那些仪器时更是这样。太阳和月球精确的中心很难测定；而且也很难确定什么时候月亮正好半圆。考虑到这些问题，阿里斯塔克似乎选择了与他的不可靠的观测相适应的最小角度，这大概是为了保证得出的比值更为可信。他的后继者也一定被类似的考虑所限制，因为，对地球到太阳和月球的相对距离的估算尽管大大改进了，但在整个古代和中世纪一直是偏小的。

前述测量都只得出天文距离的比值，但是通过一个极具独创性的证明，阿里斯塔克得以将它们转化为绝对数量，也就是可以用斯塔第来表示太阳和月球的直径以及它们到地球的距离。他的结果是由观测一次最长时间的月蚀得到的，在这次月蚀过程中月球正好位于黄道上，因此穿过地球阴影的正中心。他首先测量了月球边缘首次进入阴影到月球刚被完全遮蔽的那一刻为止所经过的时间。他拿这个数据与月球被完全遮蔽的时间长度相比较，于是发现：月球被完全遮蔽的时间与它进入地球阴影所需的时间大致相同。他得出结论：在月球经过的区域，地球阴影的宽度约是月球本身直径的2倍大。

图59显示了阿里斯塔克所分析的天文构图。图中的月球刚刚完全进入到地球的阴影之中。月球的直径为d（未知），因此地球在月球处的阴影的直径是2d；地球的直径是D（以斯塔第为单位，据埃拉托色尼对地球周长的测量可知）；月球到地球的距离是R（也是待定的未知量）。最后，由于太阳的直径和它到地球的距离都恰好是月球的19倍，所以太阳盘面的直径是19d，而它到地球的距离是19R。所以，阿里斯塔克的（也是我们的）问题是要借助已经以斯塔第为单位确定了的地球直径D的数值来确定未知的d和R。

这幅图直接显示了三个相似三角形，它们的底边长度分别是2d，D和19d，高分别是x（未知）、x+R和x+20R。（这里令三个三角形的底边等于直径，实际上应该比直径略小，但当这些三角形非常尖的时候——现在就是——这种偏差非常小，不影响结果。）在最小的三角形和最大的三角形中高和底的长度之比必定相同，即：

将等式两边同乘以38d，得到一个新的等式：19x=2x+40R，所以x=40R/17。换句话说，地球阴影延伸到月球后面的距离大约是月地距离的2倍。

比较最小的三角形和中等的三角形得出另一个方程，从中可以确定d的值。首先比较得出：

将x=40R/17代入，两边同乘以17/R，得到：

根据最后这个方程，d=20D/57≈0.35D，也就是说，月球直径是地球直径的三分之一多一点，由于太阳直径是月球的19倍，所以太阳直径就是地球的6倍多一点。

由于地球直径D已知，所以上述计算给出了太阳和月球的实际尺寸。它们到地球的距离可以通过一个小的附加计算确定。因为太阳和月球都对地球张成一个0.5°的角，所以它们都可以在以地球为圆心的一个整圆（360°）的圆周上摆放720次。因而月地距离一定是周长为月球直径（已知）720倍的圆的半径，而太阳到地球的距离是它的19倍。由于圆的周长是2π乘以其半径，所以月球到地球的距离是40个地球直径多一点，而太阳到地球的距离大约是764个地球直径。

这些计算中应用的方法是睿智的，代表了希腊科学家最杰出的成就，但是其数值结果，特别是有关太阳的结果，一律是不准确的，因为在测定太阳和半月相隔的角度时一开始就存在误差。现代测量给出的月球直径是地球直径的四分之一多一点，月地距离大约是30个地球直径，跟阿里斯塔克算出的值相差都不算太大。但是现在认为的太阳直径是地球的110倍，到地球的距离是12000个地球直径，两者都与阿里斯塔克设想的相去甚远。尽管古代对阿里斯塔克的测量结果做了各种修正，而且测得的到太阳的距离存在显著误差的可能性也常常被意识到，但古代和中世纪对这种宇宙尺度的所有估算一直严重偏小。

由于只依赖于地球、月球和太阳三者之间的相对位置，阿里斯塔克测定尺寸和距离的技术可以同等精确或同等不精确地应用于托勒密宇宙和哥白尼宇宙。因此，对天文尺度的古代测定并不能在哥白尼革命中起到直接的作用。但它们仍有一些间接的作用，即都有助于强化托勒密体系。进行天文测量的可能性显示了亚里士多德-托勒密宇宙巨大的成效。另外，测量结果增加了宇宙论结构的具体性，从而使古代宇宙论显得真实。最后，也是最重要的，对月地距离的测量给出了一个天文学计量的标准，在中世纪，它被用来为整个宇宙的大小提供一个间接的尺度。

正如早先在第三章中指出的，中世纪的宇宙论者通常假设每个水晶球层都厚到足以容纳行星本轮，并且这些球层作为整体层层嵌套，充满整个空间。利用这些假说，数理天文学家就能确定所有球层的相对尺寸和厚度。然后，通过阿里斯塔克测定地球到月亮天球的距离的方法，这些相对尺度被转化为以地球直径、斯塔第或英里为单位的数值。所导致的一套典型的宇宙尺度被包含在原初的讨论中。它显示了某种细节性的东西，前哥白尼时代的科学家们就是用它来研究和理解宇宙的。