图论模型与典型应用
图论研究与复杂网络研究一样，研究节点之间的拓扑关系。但图论研究和复杂网络研究的侧重点有所不同：复杂网络更侧重于对网络结构及其稳定性的特性分析，包括一些属性的计算；而图论更侧重于典型实际问题，包括算法研究与设计。
图论研究最早起源于欧拉提出的哥尼斯堡七桥问题，自此对图形的研究不再单纯考虑其几何关系，而是更多地考察拓扑特性。图论实际上就是一个复杂网络，它同样具有节点、边，分为有向图和无向图。不同于前面所讲的复杂网络，这一节我们更多地提及图论研究中的一些典型算法问题。
1.欧拉回路和哈密顿回路问题
欧拉回路是图论研究中较早的相关问题之一。图G（有向图或者无向图）中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的通路称作欧拉通路；图G中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的回路称作欧拉回路。判断图是否存在欧拉回路的方法也很简单，对于有向图而言，图连通，所有的顶点出度等于入度；对于无向图而言，图连通，所有顶点都是偶数度。常用的求解算法有深度优先遍历算法、Fleury算法等。欧拉回路在信息安全领域有着重要应用，基于欧拉回路序列的加密原理，能够在给定进制范围内动态生成数与数的一一映射，以此进行全范围的字节替换，算法支持细粒度可变密钥长度，密钥长度由欧拉图的节点数决定。[51]
欧拉回路不重复遍历边，而哈密顿回路的要求更加严苛一些，需要不重复遍历节点。哈密顿回路是数学、拓扑学、计算机科学研究领域十分火热的话题。若图G的回路通过图的每一个节点一次且仅一次，就是哈密顿回路，存在哈密顿回路的图就是哈密顿图。哈密顿图就是从一个节点出发，经过所有的节点一次且仅一次，最终回到起点的路径。显而易见，图中有的边可以不经过，但是边不会被经过两次（见图4-3）。对于图G是否存在哈密顿回路的充分必要条件，目前学界还没得到证明，因为哈密顿回路的求解是一个NP难问题。但幸运的是我们有充分条件和必要条件，很多情况下也可以通过一些启发式方法求解哈密顿回路。对于哈密顿回路的充分条件，我们有以下两个定理。[52]
图4-3 欧拉回路与哈密顿回路示例
狄拉克定理：设一个无向图中有N个顶点，若所有顶点的度数大于等于N/2，则哈密顿回路一定存在。
欧尔定理：如果一个总点数至少为3的简单图G满足任意两个不相邻的点u和v度数之和至少为n，即deg（u）+deg（v）≥n，那么G必然有哈密顿回路。
对于哈密顿回路的输出，目前的研究提出了很多方法，典型的如基于遗传算法[53]、基于矩阵代数方法[54]，以及基于循环、递归等方法[55]求解哈密顿回路。
2.图着色问题
图着色问题是图论研究中一项非常典型的NP完全问题。给定一个无向图G=（V，E），其中V为顶点集合，E为边集合，图着色问题即为将V分为K个颜色组，每个组形成一个独立集，即其中没有相邻的顶点。也就是说，希望用最少的颜色给图顶点上色，使得没有任意两个相邻顶点颜色相同。最简单的二色上色情况中，若一个图能够满足二色定理，则这个图是一个二分图。对于更多的上色情况，有著名的四色原理：任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着不同的颜色。这也是人类历史上第一个由计算机方法证明的定理。关于图着色情形的求解有很多相关研究，例如基于Douglas-Rachford算法求解图着色方法等。[56]而在这些方法中，启发式方法占了很大一部分，有基于蚁群算法及其改进算法为代表的群体智能算法[57]，有基于遗传算法及其改进算法为代表的进化计算方法[58]，还有禁忌搜索算法[59]等。
3.最短路径问题
最短路径问题有两个典型算法——Floyd算法和Dijkstra算法。
Floyd算法是解决给定的加权图中顶点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。它是一种动态规划算法，应用于稠密图效果最佳，边权可正可负。它只需要三次循环，但也恰恰是因为它属于循环结构，所以Floyd算法适合做节点数量小而且稠密的图，能够一次输出所有节点对之间的最短路径。
Floyd算法的伪代码如下。
f or(k=1;k<=n;k++)
f or(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
i f(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j])
e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];
Floyd算法被广泛应用于交通路径规划[60]、机器人自动行进控制[61]等领域。
Dijkstra算法是基于贪心思想实现的最短路径算法，首先把起点到所有节点的距离存下来，找出其中最短的距离，开展松弛操作后再找出最短路径节点。所谓的松弛操作就是遍历后将刚刚找到的最短路径节点作为中转站，看有没有更短路径，如果比有就更新距离，这样把所有的点找遍之后就存下了起点到其他所有节点的最短距离。Dijkstra算法是一种典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点间的最短路径。主要特点是以起始点为中心，向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法在交通流系统优化[62]、疏散路线设计[63]等方法应用广泛，有关研究也非常多，陆锋（1999）[64]对最短路径问题中的一些核心概念和细节进行了详细阐述。
Dijkstra算法的伪代码如图4-4所示。
图4-4 Dijkstra算法的伪代码[65](https://www.daowen.com)
4.最小生成树问题
最小生成树问题也是图论中的典型问题。对于一棵树而言，树是一类特殊的图，其中没有回路。一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有原图中全部节点，并且有保持图连通的最少的边，而且一个图的生成树往往不唯一。设G=（V，E）是一个无向连通网，生成树上各边的权值之和为该生成树的代价，在G的所有生成树中，代价最小的生成树称为最小生成树。对于最小生成树算法的求解，我们主要使用Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法从任意一个顶点开始，每次选择一个与当前节点集最近的一个节点，并将两节点之间的边加入树中。Prim算法在找当前最近节点时使用了贪婪算法，可在加权连通图里搜索最小生成树，由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括连通图里的所有节点，且其所有边的权值之和亦为最小。此算法的具体思路为：在一个加权连通图中，顶点集合为V，边集合为E，任意选出一个点作为初始节点，标记为visit，计算所有与之相连接的点的距离，选择距离最短的，同样标记为visit.
重复以上操作，直到所有点都被标记为visit。在剩下的点中，计算与已标记visit点距离最短的点，同样标记visit，证明其加入了最小生成树。
Kruskal算法的具体思路是将所有边按照权值的大小进行升序排序，然后逐一判断，判断条件为：如果这个边不会与之前选择的所有边组成回路，就可以将这个边作为最小生成树的一部分，反之则舍去，直到具有n个节点的连通网筛选出来n-1条边为止，筛选出来的边和所有的节点构成此连通网的最小生成树。判断是否会产生回路的方法为：在初始状态下给每个节点赋予不同的标记，对于遍历过程的每条边，其都有两个节点，判断这两个节点的标记是否一致，如果一致，说明它们本身就处在一棵树中，继续连接就会产生回路；如果不一致，说明它们之间还没有任何关系。
Kruskal算法的伪代码如下。
最小生成树算法在管道架设、线路架设等领域有着极为广泛的应用，例如，刘健等（2004）[66]、黄红程等（2015）[67]利用最小生成树算法进行了配电网的优化和规划。此外，银行金融领域的信贷情况也可以用最小生成树算法进行建模[68]，云计算服务的任务调度也可以用最小生成树算法。[69]
5.最大流问题
最大流问题是一类应用极为广泛的问题。许多系统都包含了流量，例如，公路系统中有车辆流，控制系统中有信息流，供水系统中有水流，金融系统中有现金流等。例如在图4-5中，整个网络的流量方案应该满足以下几个条件。
图4-5 最大流问题实例
①实际运输量不能是负的。
②每条弧的实际运输量不能大于该弧的容量。
③除了V s和V t外，对其他顶点来说，所有流入的运输量总和应该等于所有流出的运输量总和。
求解最大流问题的典型方法有Ford-Fulkson算法。其算法操作流程如下。
①初始化网络中所有边的容量，c为继承该边的容量，初始化为0，其中边为回退边。初始化最大流为0。
②在残留网络中找一条从源S到汇T的增广路p。如果找到，转步骤③；如果不能找到，则转步骤⑤。
③在增广路p中找到所谓的“瓶颈”边，即路径中容量最小的边，记录下这个值X，并且将其累加到最大流中，转步骤④。
④将增广路中所有c加上X，构成新的残留网络。转步骤②。
⑤得出网络的最大流，退出。
最大流问题广泛应用于求解航线航程最小费用最大流问题[70]、电力系统配送问题[71]，以及城市最大交通流量问题[72]等。在理论方面，也涌现出了一大批求解最大流问题的不同想法。[73]
6.TSP问题
TSP问题源自一个古老的问题，即旅行商难题：假设有一个旅行商人要拜访n个城市，每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市，他应该怎样选择要走的路径，且使路径里程最短。TSP问题是图论领域一个典型的NP难问题，目前相关研究进展迅速，代表性成果有使用群体智能方法等启发式方法求解精确解或者近似解。
群体智能算法是启发式算法中一个重要的分支，也是计算机科学中一类非常重要的问题。群体智能算法试图模拟现实中群体生物的行为，对一些问题进行优化（如TSP问题等）。[74]
群体智能算法包括蚁群算法、粒子群算法、萤烛群算法等。蚁群算法将所有可能走的路线设置为待优化问题的解空间，通过信息素矩阵反复迭代来保存最优信息。[75]但蚁群算法存在收敛速度慢、容易陷入局部最优等缺点。粒子群算法是目前应用最为广泛的群体智能算法：粒子通过对当前位置和的最优位置之间的距离以及与群体最好位置的距离的迭代来获得最优解。[76]虽然这种方法有收敛速度快等优点，但存在精度低、易发散等缺点。萤火虫群算法根据相对亮度来决定萤火虫的移动方向，从而找到全局的最优个体值，不仅可以优化单峰函数，也可以优化多峰函数，适用范围更广。[77]但这种方法只能在一定的前提下实现，所以还存在一定的局限性。
