二十、话说分数
二十、话说分数
“分数是什么？”马先生今天的第一句话。
“是许多个小单位聚合成的数。”周学敏说。
“你还可以更说得明白点吗？”马先生问。
“例如
，就是3个
聚合成的，
对于1做单位说，是一个小单位。”周学敏说。
“好！这也是一种说法，而且是比较实用的。照这种说法，怎样用线段表示分数呢？”马先生问。
“和表示整数那样，不过用表示1的线段的若干分之一做单位罢了。”王有道这般地回答以后，马先生叫他在黑板上作出图80来。其实，这是以前已无形中用过的了。
“分数是什么？还有另外的说法没有？”马先生等王有道回到座位，坐好以后问。经过好几分钟，还没有人回答，他又问：
“
是多少？”
“2！”谁都知道。
“
呢？”
“6。”大家一同回答，心里都好似以为这只是不成问题的问题。
“
呢？”
“0.5。”周学敏回答。
“
呢？”
“0.25。”还是他。
“你们回答的这些数，分数的值，怎样来的？”
“自然是除得来的哟。”依然是周学敏。
“自然！自然！”马先生说，“就顺了这个自然，我说，分数是表示两个数相除而未除所成的数，可不可以？”
“……”想着，当然是可以的，但没有一个人回答。大约他们也和我一样，自己觉得有点儿拿不稳吧，只好由马先生自己回答了。
“自然可以，而且在理论上，更合适——分子是被除数，分母便是除数。本来，我们也就是因为两个整数相除，不一定除得一干二净；在除不尽的场合，如13÷5=2……3，不但说起来啰唆，用起来，更大大地不方便，穷极智生，才造出这个分数
来。”
这样一来，变成用两个数连合起来表示一个数了。马先生说，就因为这样，分数又有一种用线段表示的方法。他说用横线表示分母，用纵线表示分子，叫我们找
、
、
各点。我们得出了A1、A2和A3，连起来就得直线OA。他又叫我们找
、
两点，连起来得直线OB——图81。
“
、
和
的值是一样的吗？”马先生问。
“一样的！”我们回答。
“表示
、
、
的各点A1、A2、A3，都在一条直线上，由这线上，还找得出一些什么分数来？”大家争着，你一句，我一句地回答：
“
。”
“
。”
“
。”
“
。”
“这些分数的值怎样？”
“都和
的相等。”周学敏很快回答，我也是明白的。
“再就OB线看，有几个同值的分数？”
“三个，——
、
、
。”几乎是全体同时回答。
“不错！这样看来，表示同值分数的点，都在一条直线上。反过来，一条直线上的各点所指示的分数是不是都同值的呢？”
“？”我想回答一个“是”字，但找不出理由来，终于不敢回答，别的人，也只是低着头想。
“你们试在线上随便指出一点来试试看。”
“A8 。”我说。
“B4 。”周学敏说。
“A8指示的分数是什么？”(https://www.daowen.com)
“
。”王有道说。马先生说这是一个繁分数，叫我们将它化简来看。
。
B4所指示的分数，依样画葫芦，我们得出：
。
“由这样看来，对于前面的问题，我们可不可以回答一个‘是’字呢？”马先生很郑重地问。就因为他问得很郑重，所以没有人回答。
“我来一个自问自答吧！”马先生说，“可以，也不可以。”惹得大家哄堂大笑。
“不要笑，真是这样。实际上说，本来是如此的，所以你回答一个‘是’字，别人绝不能提岀反证来。不过，在理论上，你现在却没有给它一个充分的证明，所以你回答一个‘不可以’，也是你虚心把稳。——我得结束一句，再过一年，你们学完了平面几何，就会给它一个证明了。”
接着，马先生又提醒我们，将这图从左看到右，又从右看到左。先是： 
变成
、
、
、
、
、
；而
变成
、
，它们正好表示扩分的变化。——用同数乘分子和分母。后来是正相反，
、
、
、
、
都变成
；而
、
都变成
，它们恰好表示约分的变化。——用同数除分子和分母。——啊！多么简单、明了，且趣味丰富啊！谁说算学是呆板、枯燥、没生趣的呀？
用这种方法表示分数，它的效用就此可叹观止了吗？不！还有更浓厚的趣味跟着来哩。
第一，是通分，马先生提出下面的例题。
例一：化
、
和
为同分母的分数。
这个问题的解决，真是再轻松不过了。我们只依照马先生的吩咐，画出表示这三个分数
、
和
的三条线，——OA、OB和OC，马上就看出来
扩分可成
，
可成
，而
可成
，正好分母都是24，真是简单极了。
第二，是比较分数的大小。
就用上面的例子和图，便可说明白。把三个分数化成了同分母的，因为，
所以知道，
这个结果，图上显示得非常明白，OB线高于OA线，OA线高于OC线，无论这三个分数的分母是否相同，这个事实绝不改变，还用得着什么通分？
照分数的性质说，分子相同的分数，分母越大的值越小。这一点，图上显示得更明白了。
第三，这是普通算术书上，所不常见到的，就是求两个分数间，有一定分母的分数。
例二：求
和
中间，分母为14的分数。
先画表示
和
的两条直线OA和OB，由分母14这一点往上看，处在OA和OB间的，分子的数是6（C1）、7（C2）和8（C3）。这三点所表示的分数是
、
、
，便是所求的。
不是吗？这多么简捷了当啊！马先生叫我们用算术的计算法来解这个问题，以相比较。我们共同讨论一下，得出一个要点：先通分。因为这一来好从分子的大小，决定各分数。通分的结果，8、14和18的最小公倍数是504，而
变成
，
变成
，所求的分数就在
和
中间，分母是504，分子比196大，比315小。
“这还不够。”王有道的意见，“因为题上所要求的，限于14做分母的分数。公分母504是14的36倍，分子必须是36的倍数，才约得成14做分母的分数。”这个意见当然很对，而且也是本题要点之一。依照这个意见，我们找出在196和315中间，36的倍数，只有216（6倍）、252（7倍）和288（8倍）三个。而：
，
，
同着前面所得的结果完全相同，但手续却繁重得多了。
马先生还提出一个计算起来比这样更繁重的题，但由作图法解决，真不过是“一举手之劳”。
例三：求分母是10和15中间各整数的分数，分数的值限于在0.6和0.7中间。
图中OA和OB两条直线，分别表示
和
。因此所求的各分数，就在它们的中间。又分母限于11、12、13和14四个数。由图上，一眼就可以看出来，所求的分数只有下面的五个：
，
，
，
，
第四，分数怎样相加减？
例四：求
和
的和同差。
总是要画图的，马先生写完题以后，我就将表示
和
的两条直线OA和OB画好——图85。
“异分母分数的加减法，你们都已知道了吧？”马先生问。
“先通分！”周学敏回答。
“为什么要通分呢？”
“因为，把分数看成许多小单位集合成的，单位不同的数，不能相加减。”周学敏加以说明。
“对的！那么，现在我们怎样在图上将这两个分数相加减呢？”
“两个分数的最小公分母是12，通分以后，
变成
，A2所表示的；
还是
，B1所表示的。在12这条纵线上，从A2起加上5，得C1（A2C1等于12B1），OC1这条直线就表示所求的和
。”王有道说。
同着“和”的做法相反，“差”的做法我也明白了。从A2起向下截去5，得D1，OD1这条直线，就表示所求的差
。
“OC1和OD1这两条直线所表示的分数，最左的一个各是什么？”马先生问。
一个是
，C2所表示的。一个是
，D2所表示的。这个说明了什么呢？马先生指示我们，就是在算术中，加得的和，如
，同着减得的差，如
，可约分的时候，都要约分。而在这里，只要看最左的一个分数就得了，真便当！