二十四、显出原形

今天所讲的是前面所说的第三类，单纯关于分数自身变化的问题，大都是在某一些条件底下，找出原分数来，所以，我就给它这么一个标题——显出原形。

“先从前面举出来过的例子说起。”马先生说了这么一句，就在黑板上写出：

例一：有一分数，其分母加1，则可约为；其分母加2，则可约为，求原分数。

“有理无理，从画线起。”马先生这样说，就叫各人把表示和的线画出来。我们只好遵命照办，画OA表示，OB表示。完后，再就无所措手足了。

“很简单的事情，往往会向复杂的路上去想，弄得此路不通。”马先生微笑着说，“OA表示，不错，但是哪儿来的呢？我替你们回答吧，原分数的分母加上1来的。假使原分母不加上1，画出来当然不是OA了。现在，我们来画一条横里和OA相距1的平行线CD。CD若表示分数的，那么，它和OA上所表示的分子相同的分数，如D₁和A₁（分子都是3），它们俩的分母有怎样的关系？”

“相差1。”我回答。

“这两直线上所有的同分子分数，它们俩的分母间的关系都一样吗？”

“都一样！”周学敏说。

“可见得我们要求的分数，总在CD线上。对于OB说又应当怎样？”

“作ED和OB平行，横里相距2。”王有道说。

“对的！原分数是什么？”

“，就是D点所指示的。”大家都非常高兴地回答。

“和它分子相同，OA线所表示的分数是什么？”

“，就是。”周学敏说。

“OB线所表示的同分子的分数呢？”

“，就是。”我说。

“这两个分数的分母比较原分数的分母怎样？”

“一个多1，一个多2。”由此可以见得，所求出的结果是不容怀疑的了。

这个题的计算法，马先生叫我们这样想：

“分母加上1，分数变成了，分母是分子的多少倍？”

我想，假如分母不须加1，分数就是，那么，分母当然是分子的倍。由此可知，分母是比分子的差1。对了，由第二个条件说，分母就比分子的少2。

两个条件凑合起来，便得：分子的和相差的是2和1的差。所以：

——分子

——分母

例二：有一分数，分子加1，则可约成；分母加1，则可约成，求原分数。

这次，又用得着依样画葫芦了。

先作OA和OB分别表示和。再在纵线OA的下面，和它距1，作平行线CJ。又在OB的左边，和它距1，作平行线EK，同CJ交于D。

D指出原分数是。分子加1，成，即；分母加1，成，即。

由第一个条件，知道分母比分子的倍“多”。

由第二个条件，知道分母比分子的2倍“少”1。

所以：

——分子

——分母

例三：某分数，分子减去1，或分母加上2，都可约成，原分数是什么？

这个题目，真有些妙！就作法说：因为分子减去1或分母加上2，都可约成。和前两题比较，表示分数的两条线OA，OB，当然并成了一条OA。又分子是“减去”1，作OA的平行线CD时，就得和前题相反，须画在OA的上面。然而这一来，却有些使我迷糊了。依第二个条件所作的线，也就是CD，方法是没有错，但结果呢？

马先生看我们作好图以后，这样问：“你们求出来的原分数是什么？”

我真不知道怎样回答，周学敏却回答是。这个答数当然是对的，图中的E₂就指示，并且分子减去1，得，分母加上2，得，约分后都是。但E₁所指示的，分子减去1得，分母加上2得，约分后一样地是。还有E₃所指的，E₄所指的，都是合于题中的条件的。为什么这个题会有这许许多多的答数呢？

马先生听了周学敏的回答，便问：“还有别的答数没有？”我们你说一个，他说一个地，把，和都说了出来。最奇怪的是，王有道回答一个。不错，分子减去1得，分母加上2得，约分以后，都是。我的图，画得小了一点，在上面找不出来。不过王有道的图，比我的也大不多，上面也没有指示的这一点。他从什么地方得出来的呢？

马先生也似乎觉得奇怪，问王有道：

“这，你从什么地方得出来的？”

“偶然想到的。”他这样回答。在他也许是真情，在我却感到失望。马先生！马先生！只好静候他来解答这个谜了。(https://www.daowen.com)

“这个题，你们已说了五个答数。”马先生说，“其实你们要多少个都有，比如说，、、、、……都是的。你们以前没有碰到过这样的事，你们会觉得奇怪，是不是？但有这样的事，当然就应当有这样的理。这点倒用得着‘见怪不怪，其怪自败’这句老话了。一切的怪事都不怪，所怪的只是我们还不曾知道它。无论怎样怪的事，我们把它弄明白以后，它就变得极平常了。现在，你们先不要‘大惊小怪’的。试把你们和我说过的答数，依着分母的大小，顺次排起来。”

遵照马先生的话，我把这些分数排起来，得这样一串：

，，，，，，，，，。

这一串分数，我马上就看出来：

第一，分母是一串连续的偶数。

第二，分子是一串连续的整数。

照这样推下去，当然、、……都对，真是马先生所说的“要多少个都有”。我所看出来的情形，大家都一样地看了出来。马先生问明白大家以后，这样说：

“现在你们可算得，已看到‘有这样的事’了，我们应当进一步，来找所以‘有这样的事’的‘理’。不过你们姑且把这问题“按下不表”，先讲本题的计算法。”

跟着前两个题下来，这是很容易的。

由第一个条件，分子减去1，可约成，可见得分母等于分子的2倍少2。

由第二个条件，分母加上2，也可约成，可见得分母加上2等于分子的2倍。

呵！到这一步，我才恍然大悟，真有如“拨云雾见青天”的快乐！原来半斤和八两没有两样。这两个条件，“分母等于分子的2倍少2”和“分母加上2等于分子的2倍”，只是一个，“分子等于分母的一半加上1”。前面所举出的一串分数，都合于这个条件。也就为了这样，所以，那一串分数的分母都是“偶数”，而分子是一串连续整数。这样一来，随便用一个“偶数”做分母，都可以找出一个合题的分数来。例如，用100做分母，它的一半是50，加上1，是51，即，分子减去1，得；分母加上2，得。约分下来，它们都是。这是多么简单明白的道理！

假如，我们用“整数的2倍”表示“偶数”，这个题的答数，就是这样一个形式的分数：

这个情形，由图上怎样解释呢？我想起了！在交差原理中有这样的话：

“两线不止一个交点怎样？”

“那就是这题不止一个答案……”

这里，两线合成了一条，自然可说有无穷的交点，而解答也是无数的了。

真的！“把它弄明白以后，它就变得极平常了。”

例四：从的分母和分子减去同一个数，则可约成，求所减去的数。

因为题上说的有两个分数，我们首先就把表示它们的两条直线OA和OB画出来。A点所指的就是。题目上说的是从分母和分子减去同一个数，得出，我就想到在OA的上、下都要画一条平行线，并且它们距OA相等。——呵！我又走入迷魂阵了！减去的是什么数还不知道，这平行线，怎样画法呢？这个困难，大家都感到，终于还是马先生来解决。

“这回不能依样画葫芦了。”马先生说，“假如你们已经知道了减去的数，照抄老文章，怎样画法？”

我把我所想到的说了出来。马先生接着说：

“这条路走错了，要越走越黑的。现在你来实验一下。实验和观察，是研究一切科学的初步工作，许多发明都是从它产生的。假如从分母和分子各减去1，得什么？”

“。”我回答。

“各减去8呢？”

“。”我再答道。

“你把这两个分数在图上记出来，看它们和指示的A点，有什么关系？”

我点出A₁和A₂，一看，它们都在经过小方格的对角线AD上。我就把它们连起来，这条直线和OB交于C点。C所指的分数是，分母和分子比的都差5，而约分以后正是。原来所减去的数，当然是5。结果，得出来了，但是，为什么这样一画，就可得出来呢？

对于这一点，马先生的说明是这样：

“从原分数的分母和分子‘减去’同一的数，所得的数用‘点’表示出来，如A₁和A₂。就分母说，当然要在经过A这条纵线的‘左’边；就分子说，使要在经过A这条横线的‘下’面。并且，因为减去的是‘同一’的数，所以这些点到这纵线和横线的距离相等。这两条线可以看成是正方形的两边。正方形的对角线上的点，无论哪一点到两边的距离都一样长。反过来，到正方形的两边距离一样长的点，也都在这对角线上，所以我们只要画AD这条对角线就行了。它上面的点到经过A的纵线和横线距离既相等，则这点所表示的分数的分母和分子同着A点所表示的分数的分母和分子，所差的当然相等了。”

现在转到本题的算法。分母和分子所减去的数相同，换句话说，便是它们的差是一定的。这一来，就和第八节中所讲的年龄的关系相同了。我们可以设想为：

兄年23岁，弟年15岁，若干年前，兄年是弟年的（因弟年是兄年的）。

它的算法便是：

例五：有大小两数，小数是大数的。若两数各加10，则小数为大数的，求各数。

“我把这个容易的题目来结束分数四则问题，你们自己先画个图看。”马先生说。

容易！听了这“容易”两个字，反使我弄得莫名其妙了。我先画OA表示，又画OB表示。——因为，我照题目所说的小数是大数的，我就把小数看成分子，大数看成分母，这个分数可约成。两数各加上10，则小数为大数的。那就是说，原分数的分子和分母各加上10，则可约成。再在OA的右边，相隔10作CA₁和它平行。又在OA的上面，相隔10作DA₂和它平行。我想CA₁表示分母加了10，DA₂表示分子加了10，它们和OB一定有什么关系，可以用这关系来决定所找的解答。哪里知道，三条直线各不相干！容易！我却失败了！

我硬着头皮去请教马先生。他就说：

“这又是‘六窍皆通’了。CA₁既表示分母加了10的分数，再把这分数的分子也加上10，不是应和OB所表示的分数相同了吗？”

自然，我听了，还是有点摸不着头脑。只知道，我的DA₂这条线是不必画的。另外，应当在CA₁的上边相隔10作一条平行线。我将这条线EF作出来，就和OB有了一个交点B₁。它指的分数是，从它的分子减去10，得CA₁上的B₂点，它指的分数是。所以，不作EF，而作GB₂平行于OB₁，表示从OB所表示的分数的分子减去10，也是一样。GB₂和CA₁交于B₂，又从这分数的分母减去10，得OA上的B₄点，它指的分数是。这个分数约下来正好是。——小数8，大数12，就是所求的了。

其实，就图上看一下，DA₂这条线也未尝不可用。EF也和它平行，在EF的左边相隔10。DA₂表示原分数的分子加上10的分数，EB就表示这个分数的分母也加上10的分数。自然，这也就是B₁点所指的分数了。从B₁的分母减去10得DA₂上的B₃，它指的分数是。由B₃指的分数的分子减去10，还是得B₄。本来若不作EF，而在OB的左边相距10，作HB₃和OB平行，交DA₂于B₃也可以的。这可真算得左右逢源了。