三态之三——求全

二十三、三态之三——求全

例一：什么数的是12？

“这是知道了某数的部分，而要求它的整个，和前一种正相反。所以它的画法，不用说，只是将前一种的方法反其道而行了。”马先生说。

“横线表示示数，这用不到说，纵线表示分数，怎样画法？”

“先任取一长段作1，再将它4等分，就可得、、各点。”一个同学说。

“这样的办法，对是对的，不过不很便捷。”马先生批评道。

“先任取一小段作，再连续次第取相同的长表示、……”周学敏说。

“这就比较便当了。”马先生说完，在的那一点标一个A，12那点标一个B，又在1那点标一个C，“这样一来，怎样画法？”

“先联结AB，再过C作它的平行线CD。D点指示的16——它的是4，它的正好是12。——就是所求的数。”

依照求偏的样儿，把“倍数”的意义，看得广泛一点；这类题的计算法，正和知道某数的倍数，求某数一般无二，都应当用除法。例如，某数的5倍是105，则：

某数=105÷5=21。

而本题，某数的是12，所以：

某数=12÷=12×=16。

例二：某数的是21，某数是多少？

本题和前一题，可以说全然相同，由它更可看出“知偏求全”同着知道倍数求原数一样。

图中AB和CD两条直线的作法，和前题相同，D指示某数是9。——它的2倍是18，它的是3，它的正好是21。这题的计算法，是这样：

例三：何数的与的和是15？

“本题的要点是什么？”马先生问。

“先看某数的同着它的的和，是它的几分之几。”王有道回答。

这图94是周学敏作的。先取OA作1，次取它的OB和OC。再把OC加到OB上得OD，BD自然是OA的。所以OD就是OA的同着的和。

连DE，作AF平行于DE，F指明某数是18。

计算法是：

例四：何数的与的差是6？

和前题相比较，只是“和”换成“差”这一点不同。所以它的作法也只有从OB减去OC，得OD表示和的差，这一点不同。F指明所求的数是70。

计算法是这样：

例五：大小两数的和是21，小数是大数的，求两数。

就广义的倍数说，这个题和第四节的例二，全然一样。照图11的作法，可得图96。若照前例的作法，把大数看成1，小数就是，可得图97。两相比较，真是殊途同归了。

至于计算法，更不用说，只有一个了。

例六：大小两数的差是4，大数恰是小数的，求两数。

这题和第四节的例二，内容完全相同，图98就是依图12作的。图99的作法和图97的相仿，不过是将小数看成1，得OA。取OA的，得OB。将OB的长加到OA上，得OC。它是OA的，即大数。D点表示4，连BD。作AE，CF和BD平行。E指小数是12，F指大数是16。

计算法是这样：

例七：某人费去存款的，后又费去所余的，还存16元，他原来的存款是多少？

“这题的作法，第一步，可先取一长段OA作1，然后减去它的，怎样减法？”马先生问。

“把OA三等分，从A向下取AB等于OA的，OB就是表示所剩的。”我回答。

“不错！第二步呢？”

“从B向下取BC等于OB的，OC就是表示第二次取后所剩的。”周学敏回答。

“对！OC就和OD所表示的16元相当了。你们各人自己把图作完吧！”马先生吩咐。

自然，这又是老法子：连CD，作BE，AF和它平行。OF所表示的30元就是原来的存款。由这图上还可看出，第一次所取的是10元，第二次是4元。看了图很明白地，计算法是：

例八：有水一桶，漏去，汲出2斗，还剩半桶，这桶水原来是多少？

“这个题，对于画图，不很顺畅，你们能把它的顺序更改一下吗？”马先生问。

“题上说，最后剩的是半桶，可见得漏去和汲出的也是半桶，先就这半桶来画图好了。”王有道回答。

“这办法很不错，精神上虽已把题目改变，实质上却是一样。”马先生说，“那么，作法呢？”

“先任取OA作1。截去一半AB，得OB，也是一半。三等分AO得AC。从BO截去AC得D，OD相当于汲出的水2斗……”王有道说到这里，我已知道，以下自然又是老法门，连DE，作AF和它平行。F指出这桶水原来是12斗。——先漏去是4斗，后汲去2斗，只剩6斗，恰好半桶。

算法是：

例九：有绳一段，剪去9尺，余下的部分比全长的还短3尺，这绳原长多少？

这个题，不过有点小弯子在里面，一经马先生这样提示：“少剪去3尺，怎样？”我便明白作法了。

图102，OB表示剪去的9尺。BC是3尺。若少剪3尺，则剪去的便只是OC。从C往右正是全长的。OA表示1，AD是OA的。连DC，作AE和它平行。E指明这绳原来是24尺。它的是18尺。它被剪去了9尺，只剩15尺，比18尺恰好差3尺。

经过这番作法，算法也就很明白了：

例十：夏竹君提去存款的，后又存入200元，恰合成是原存款的，求原来的存款？

从讲分数的应用问题起，直到前一个例题，我都不很感到困难，这个题，我却有点对付不下了。马先生似乎已晓得，我们有大半人拿着它没有下手处，他说：

“你们先不要对着题去闷想，还是动手的好。”但是怎样动手呢？题目所说的，都不曾得出一些关联来。

“先作表示1的OA。——再作表示的AB。——又作表示的OC。”马先生好像体育老师喊口令一般。

“夏竹君提去存款的，剩的是什么？”他问。

“。”周学敏说。

“不，我问的是图上的线段。”马先生说。

“OB。”周学敏不回答，我就说。

“存入200元后，存的有多少？”

“OC。”我回答。

“那么，和这存入的200元相当的是什么？”

“BC。”周学敏抢着说。

“这样一来，图会画了吧？”

我仔细想了一阵，又看看前面的几个图，都是把和实在的数目相当的分数放在顶下面，——这大约是一点小小的秘诀——我就取OD等于BC。连DE，作AF平行于它。F指的是3000元，这个数，使我有点怀疑，好像太大了一些。我就给它复证一下，3000元的是1200元，提去后还剩1800元。加入200元，是2000元，不是3000元的是什么？——方法对了，做得仔细，结果总是对的，为什么要怀疑？

这个作法，已把计算法明明白白地告诉我们了：

例十一：分36成甲、乙、丙三部分，甲的，和乙的，和丙的都相等，求各数。

对于马先生的指导，我真要铭感五腑^[24]了。这个题，在平常，我一定没有办法的，现在遵照马先生在前一题的提示：“先不要对着题闷想，还是动手的好。”动起手来。

先取一小段作甲的，取两段得OA，这就是甲的1。题目上说乙的和甲的相等，我就连续取同样的3小段，每一段作乙的，得AB，这就是乙的1。再取同样的4小段，每一段作丙的，得BC，这就是丙的1。(https://www.daowen.com)

连CF，又作它的平行线BG和AH。OH、HG和GF各表示8，12，16，就是所求的甲、乙、丙三个数。8的，12的和16的全都等于4。

至于算法我倒想着无妨别致一点：

例十二：分490元，给赵、钱、孙、李四个人。赵比钱的少30元，孙等于赵、钱的和，李比孙的少30元。每人各得多少？

“这个题有点儿麻烦了，是不是？人有四个，条件又啰唆。你们坐了这一阵，也有点儿疲倦了。我来说个故事，给你们解解闷，好不好？”听到马先生要说故事，谁都精神为之一振。

“话说——”马先生一开口，惹得大家都笑了起来，“从前有一个老头子。他有三个儿子和十七头牛。有一天，他病了，自己觉得大限快要到来，因为他已经九十多岁，就叫他的三个儿子到面前来，吩咐他们：

‘我的牛，你们三兄弟分，照我的说法去分，不许争吵：老大要，老二要，老三要。’

“老头子不久后果然死了。他的三个儿子把事情料理清楚以后，就牵出十七头牛来，按照他的说法分。老大要，就只能得八头活的和半头死的。老二要，就只能得五头活的和头死的。老三要，只能得一头活的和头死的。他们虽是不争吵，却不知道怎样分法才会合适，谁都不愿要死牛。

“后来他们一同去请教隔壁的李太公，他是向来很公平，他们很佩服的。他们把一切情形告诉了李太公。李太公笑眯眯地牵了自己的一头牛，跟他们去。他说：

‘你们分不好，我送你们一头，再分好了。’

“他们三兄弟有了十八头牛：老大分，牵去九头；老二分，牵去六头；老三分，牵去两头。各人都高高兴兴地走开。李太公的一头牛他仍旧牵了回去。”

“这叫李太公分牛。”马先生说完，大家又用笑声来回答他。他接着说：

“你们听了这个故事，学到点什么没有？”

“……”没有人回答。

“你们无妨学学李太公，做个空头人情，来替赵、钱、孙、李这四家分这笔缠夹账呀！”原来，他说李太公分牛的故事，是在提示我们，解决这个题，须得虚加些钱进去。这钱怎样加进去呢？

第一步，我想到了，赵比钱的少30元，若加30元去给赵，则他得的就是钱的。

不过，这么一来，孙比赵、钱的和又差了30元。好，又加30元去给孙，使他所得的还是等于赵、钱的和。

再往下看去，又来了，李比孙的已不只少30元。孙既然多得了30元，他的就得多了20元。李比他所得的，先少30元，现在又少20元。这两笔钱不用说也得加进去。

虚加进这几笔数后，则各人所得的，赵是钱的，孙是赵、钱的和，而李是孙的，他们彼此间的关系就简明得多了。

跟着这一堆说明，画图已成很机械的工作。

先取OA₁作钱的1。次取A₁A₂等于OA₁的，作为赵的。再取A₂A₃等于OA₂，作为孙的。又取A₃A₄等于A₂A₃的，作为李的。

在横线上，取OB₁表示490元。B₁B₂表示添给赵的30元。B₂B₃表示添给孙的30元。B₃B₄和B₄B₅表示添给李的30元和20元。

连A₄B₅作A₁C和它平行，C指135元，是钱所得的。

作A₂D平行于A₁C，由D减去30元得E。CE表示60元，是赵所得的。

作A₃F平行于A₂E，EF表示195元，是孙所得的。

由B₂减去30元，正好得指490元的B₁。FB₁表示100元，是李所得的。

至于计算的方法，由作图法，已显示得非常明白：

——钱所得的

——赵所得的

——孙所得的

——李所得的

例十三：某人将他所有的存款分给他的三个儿子，幼子得，次子得，余下的归长子所得。长子比幼子多得38元。这人的存款是多少？三子各得多少？

这题是一个同学提出来的，其实和例九只是面目不同罢了。马先生虽也很仔细地给他讲解，我只将图的作法记在这里。

取OA表示某人的存款1。从A起截去OA的得A₁，AA₁表示次子得的。从A₁起截去OA的得A₂，A₁A₂表示幼子得的。自然A₂O就是长子所得的了。从A₂截去A₁A₂()得A₃，A₃O表示长子比幼子多得的，相当于38元（OB₁）。

连A₃B₁，作A₂B₂，A₁B₃和AB平行于A₃B₁。——某人的存款是72元，长子得46元，次子得18元，幼子得8元。

例十四：弟弟的年纪比哥哥的小3岁，而是哥哥的，求各人的年纪。

这题和例六在算理上，完全一样。我只把图画在这里，并且将算式写出来。

例十五：某人4年前的年纪，是8年后的年纪的，求此人的现年。

要点！要点！马先生写好了题，就叫我们找它的要点。我仔细揣摩一番，觉得题上所给的是某人4年前和8年后两个年纪的关系。先从这点下手，自然直接一些。周学敏和我的意见相同，他向马先生陈述，马先生也认为对。由这要点，我得出下面的作图法。

取OA表示某人8年后的年纪1。从A截去它的，得A₁，则OA₁就是某人8年后和4年前两个年纪的差，相当于4岁（OB₁）加上8岁（B₁B₂）得B₂。

连A₁B₂，作AB平行于A₁B₂。B指的21岁，便是某人8年后的年纪。

从B退回8年，得B₃。它指的是13岁，就是某人的现年。——4年前，他是9岁，正好是他8年后21岁的。

这一来，算法自然有了：

例十六：兄比弟大8岁，12年后，兄年比弟年的1倍少10岁，求各人的现年。

“又要来一次李太公分牛了。”马先生这一说，我就想到，解决本题，得虚加一个数进去。从另一方面设想，兄比弟大8岁，这个差是“一成不变”的。题目上所给的是两兄弟12年后的年纪的关系，为了直接一点，自然应当从12年后，他们的年纪着手。——这一来，好了，假如兄比弟大10岁——这就是要虚加进去的——那么，在12年后，他的年纪，正是弟的年纪的1倍，不过他比弟大的却是18岁了。