数学期望描述了随机变量取值的“平均”.有时仅知道这个平均值还不够.例如，有A，B 两名射手，他们每次射击命中的环数分别记为X，Y，已知X，Y 的分布律分别如表4.8 和表4.9 所示.

表4.8

表4.9

由于E（X）=E（Y）=9 环，可见从均值的角度是分不出谁的射击技术更高，故还需考虑其他的因素.通常的想法是：在射击平均环数相等的条件下，进一步衡量谁的射击技术更稳定些.也就是看谁命中的环数比较集中于平均值的附近，通常人们会采用命中的环数X 与它的平均值E（X）之间的离差X-E（X）的均值E[X-E（X）]来度量，E[X-E（X）]越小，表明X的值越集中于E（X）的附近，即技术稳定.E[X-E（X）]越大，表明X 的值越分散，即技术不稳定.但由于E[X-E（X）]带有绝对值，运算不便，故通常采用X 与E（X）之间的离差X-E（X）平方的平均值E{[X-E（X）]2}来度量随机变量X 取值的离散程度.上例中，由于

由此可见B 的技术更稳定些.

定义4.3　设X 是一个随机变量，若E[X-E（X）]2 存在，则称E[X-E（X）]2 为随机变量X 的方差（variance），记为D（X）或Var（X），即

称为X 的标准差（standard deviation）或均方差（mean square deviation），记为σ（X）.

可见，方差就是随机变量X 与其“中心”E（X）的偏差平方的平均.随机变量的方差总是一个非负数.若X 取值密集在它的均值周围，则方差较小.若X 取值比较分散，则方差较大.所以，方差是衡量随机变量在其均值周围取值分散程度的一个数量指标.

由随机变量函数的期望公式，我们有

另一个关系式是D（X）=E（X2）-[E（X）]2

因为

例4.10（仪器选择问题）　分别用X 和Y 两种测量仪器多次测量某一零件的直径，结果分别如表4.10 和表4.11 所示.(www.daowen.com)

表4.10

表4.11

试比较这两种仪器的优劣.

解　用随机变量X 和Y 的数学期望和方差作比较

E(X)=118 ×0.06+119 ×0.14+120 ×0.60+121 ×0.05=119.9,

D(X)=E(X2)-[E(X)]2≈14 398.3.

E(Y)=118 ×0.09+119 ×0.15+120 ×0.52+121 ×0.16=119.9,

D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2≈14 398.6.

计算结果表明，

所以X 仪器的稳定性好于Y 仪器.

例4.11　设随机变量X 的概率密度为

求D（X）.

于是，D（X）=E（X2）-[E（X）]2=.