微积分中的函数和数列极限基本概念

1.函数

设D是非空数集，若对D中任意数×，按照某一确定的对应法则f，总有唯一确定的数ｙ∈Ｒ与之对应，则称f是定义在D上的函数，记作ｙ＝f（×）.

2.数列的极限，∃N，当N＞N时，有×_N-A＜ε.

数列极限的性质：唯一性、有界性、保号性.

若数列｛×_N｝收敛，则它只有一个极限.

若数列｛×_N｝收敛，则它一定有界，即存在m＞0，对任意的N都有×_N≤m.若，则存在N，当N＞N时，有×_N＞0（×_N＜0）.

3.函数的极限，∃δ＞0，当0＜×-×₀＜δ时，有f（×）-A＜ε.，∃×＞0，当×＞×时，有f（×）-A＜ε..函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性 .若存在，则此极限是唯一的 .若存在，则f（×）在×₀的某去心邻域内有界 .若，则存在δ＞0，当0＜×-×₀＜δ时，有f（×）＞0（f（×）＜0）.若且f（×）≥0（f（×）≤0），则A≥0（A≤0）.0

4.极限运算法则

极限的四则运算法则：在某一变化过程中，ｌImf（×）与ｌImg（×）都存在，则

（1）ｌIm［f（×）±g（×）］＝ｌImf（×）±ｌImg（×）；

（2）ｌIm［f（×）g（×）］＝ｌImf（×）ｌImg（×）；（3）若ｌImg（×）≠0，有.复合函数的极限运算法则：设，且当0＜×-×₀＜δ时，g（×）≠A，则

5.两个重要极限，适用类型：“”型极限；三角函数.

或，适用类型：“1∞”型极限；幂指函数.

夹逼准则：若在某一变化过程中，函数f（×），g（×），ｈ（×）总有关系g（×）≤f（×）≤ｈ（×），且ｌImg（×）＝ｌImｈ（×）＝A，则ｌImf（×）＝A.

单调有界准则：单调有界数列必有极限，即若数列｛×_N｝是单调有界的，则一定存在.

6.无穷小与无穷大若，则称f（×）是当×→×₀时的无穷小.

无穷小的性质：在某一变化过程中，有限个无穷小的和仍是无穷小；有限个无穷小的乘积仍是无穷小；有界变量与无穷小量之积仍是无穷小量.

无穷小与无穷大的关系：在某一变化过程中(https://www.daowen.com)

（1）若ｙ＝f（×）是无穷大量，则是无穷小量；

（2）若ｙ＝f（×）（≠0）是无穷小量，则是无穷大量.几个重要的等价无穷小：当×→0时，SIN ×～×，ｔAN ×～×，AｒCSIN ×～×，AｒCｔAN ×～×，ｌN（1+×）～×，，e^×-1～×，A^×-1～×ｌN A，（1+×）α-1～α×.在自变量的某种趋势下，若α∶α′，β∶β′，则，ｌImαf＝ｌImα′f；当时，ｌIm（α-β）f＝ｌIm（α′-β′）f.

7.函数的连续

若，则称函数f（×）在点×₀处连续.

利用初等函数的连续性求函数的极限是求极限的最基本的方法，即：若f（×）是初等函数，×₀是其定义区间内的点，则.

判断函数间断点的步骤：①考查f（×）在×＝×₀点处是否有定义，若无定义，则×＝×₀是f（×）的间断点；②若f（×₀）存在，再考察是否存在，若不存在，则×＝×₀是f（×）的间断点；③若存在，再考察是否等于f（×₀），若不相等，则×＝×₀是f（×）的间断点.

若函数f（×）在闭区间［A，B］上连续，则：①f（×）在［A，B］上有界；②f（×）在［A，B］上取到最大值和最小值（最值定理）；③若f（A）·f（B）＜0，则存在ξ∈（A，B），使得f（ξ）＝0（零点定理）；④当f（A）≠f（B）时，对介于f（A）和f（B）之间的任一实数C，必存在ξ∈［A，B］，使得f（ξ）＝C（介值定理）.

上述三个定理常可用于：证明某些等式和不等式；判定某些方程的根的存在性和根的范围.

8.求极限的一般方法

（1）利用极限的四则运算法则及复合函数的运算法则；

（2）利用无穷小的运算法则；利用无穷小与无穷大的关系；

（3）利用两个重要极限；

（4）利用夹逼定理，利用单调有界准则及解方程；

（5）利用等价无穷小代换；

（6）利用合并或分项、因式分解、约分、变量代换、取对数等技巧；

（7）单边极限判敛法：.