微积分典型例题与解法：有界数列无极限

1.讨论当×→0时，函数的变化情况.

解 当×→0时，函数无限接近直线ｙ＝0，故函数无限接近直线ｙ＝1.

2.设函数f（×）＝SIN ×.讨论当×→∞时，函数的变化情况.

解 当×→∞时，函数f（×）＝SIN ×在ｙ＝±1之间振荡.

3.根据极限定义证明：.

证 由于f（×）-A＝2×-1-1＝2×-1，故对∀ε＞0，可取当0＜×-1＜ε有不等式f（×）-A＜ε成立，所以ｌ_×I→m₁（2×-1）＝1.

4.设×₀＞0，证明：

证 由于，故对∀ε＞0，可取，当0＜×-×₀＜δ有不等式f（×）-A＜ε成立，所以.

5.证明：.

证 由于×₀，故对∀ε＞0，可取δ＝ε，当0＜×-×₀＜δ有不等式f（×）-A＜ε成立，所以0.

6.设函数，讨论函数f（×）在×＝0处的极限.

解 由于，×ｌIm，故左右极限都存在而不相等，所以不存在.

7.讨论函数，，当×→0时的左右极限.

解，×ｌIm，故.由于，故，＝-1，因此不存在.

8.已知，且存在，求A.

9.当×→1时，函数的极限（ ）.

A.为∞ B.不存在 C.等于2　D.等于0

解　正确答案是B.(https://www.daowen.com)

因为当×→1+时，有×-1→0+，从而，因此，所以

右极限不存在，所以不存在.

10.“f（×）在点×＝×₀处有定义”是“×→×₀时，f（×）有极限”的（ ）.

A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件

解 正确答案是D.

11.设，由于（ ），所以不存在.

A.f（×）在×＝0处不存在 B.不存在

C.不存在 D.和都存在，但不等

解 函数在一点是否有极限与函数在一点是否有定义无关，因此A不正确.，因为，而是有界量，因此C不正确.不存在，因此应选择B.

12.若，求）.

解 由题意知，故，从而

13.下列说法不正确的是（ ）.

A.无穷大数列一定是无界 B.无界数列不一定是无穷大

C.有极限的数列一定有界 D.有界数列一定存在极限

解 不正确的是D，例如，数列1，-1，1，-1，…是有界数列，但是不存在极限.