函数微积分例题：求函数定义域与复合函数定义域

1.求函数的定义域.

（1） （2）

解 （1）函数的定义域满足ｌN（×+2）≠0，即×+2＞0，且×+2≠1，故函数的定义域是｛-2＜×＜-1｝∪｛×＞-1｝.

（2）函数的定义域满足，即ײ≤10，故函数ｙ＝的定义域是.

2.设ｙ＝f（×）的定义域是［0，1］，求复合函数f（SIN×）的定义域.

解 因为ｙ＝f（×）的定义域是［0，1］，故复合函数f（SIN×）的定义域满足SIN×∈［0，1］，故复合函数f（SIN ×）的定义域为×∈［2kπ，2kπ+π］.

3.下列几对函数中，函数f（×）与g（×）相同的是哪一对？（1）f（×）＝ｌg ײ与g（×）＝2ｌg × （2）

（3）f（×）＝×与 （4）f（×）＝1与

解 正确答案是（3）.

（1）函数f（×）与g（×）的定义域不同，f（×）的定义域是×≠0，而g（×）的定义域是×＞0；

（2）函数f（×）与g（×）的对应法则不同，f（×）＝×，而；

（3）函数f（×）与g（×）的定义域都是全体实数，且对应法则都是×，故函数f（×）与g（×）相同；

（4）函数f（×）与g（×）的定义域不同，f（×）＝1的定义域是全体实数，而g（×）的定义域是×≠0.

4.某地电话局按如下办法收费.每月通话次数不超过30次或不通话，收费20元；若超过部分每次以0.18元计算，请列出函数的表达式.

解 设函数的表达式为f（×），则

5.设ｙ＝f（×）＝3ײ-2×-1，求f（1），f（0），f（A），f（-×），f（×+1），f［f（×）］.

解f（1）＝3-2-1＝0，f（0）＝-1，f（A）＝3A²-2A-1

f（-×）＝3（-×）2-2（-×）-1＝3ײ+2×-1

f（×+1）＝3（×+1）2-2（×+1）-1＝3ײ+4×

f［f（×）］＝3（3ײ-2×-1）2-2（3ײ-2×-1）-1＝27×⁴-36׳-12ײ+16×+4

6.设函数f，求函数的定义域，并求函数值f（-1），f（0），f（2）.

解 函数的定义域［-2，3］.f（-1）＝（-1）2＝1，f（0）＝2，f（2）＝1+2＝3.

7.已知函数，写出f（×）的定义域与值域，并求和

解 函数f（×）的定义域为［0，+∞）.

当0≤×≤1时，有0≤f（×）＝2 ×≤2；当×＞1时有f（×）＝1+×＞2，故f（×）的值域为［0，+∞）.

当0＜ｔ＜1时，则，从而；当1≤ｔ时，则，从而，故

8.证明：函数ｙ＝-ײ+1在区间（-∞，0］内单调增加，在区间［0，+∞）内单调减少.

证 对任意的×₁，×₂∈（-∞，0］且×₁＜×₂，有f（×₁）-f（×₂）＝（-ײ₁+1）-（-ײ₂+1）＝ײ₂-ײ₁＝（×₂-×₁）（×₂+×₁）＜0所以f（×₁）＜f（×₂），故函数ｙ＝-ײ+1在区间（-∞，0］内单调增加.

对任意的×₁，×₂∈［0，+∞）且×₁＜×₂，有f（×₁）-f（×₂）＝（-ײ₁+1）-（-ײ₂+1）＝ײ₂-ײ₁＝（×₂-×₁）（×₂+×₁）＞0所以f（×₁）＞f（×₂），故函数ｙ＝-ײ+1在区间［0，+∞）内单调减少.

9.证明函数在它的整个定义域内有界.

证 对任意的×∈（-∞，+∞），有，故函数在它的整个定义域（-∞，+∞）内有界.

10.判断下列函数的奇偶性.

（1）f（×）＝×SIN×+CoS×

（2）

（3）f（×）＝2×⁴+3׳+1

解 （1）f（-×）＝（-×）SIN（-×）+CoS（-×）＝×SIN ×+CoS ×＝f（×）故f（×）＝×SIN ×+CoS ×为偶函数.

（2）故为奇函数.

（3）f（-×）＝2（-×）4+3（-×）3+1＝2×⁴-3׳+1，有f（-×）≠-f（×）且

f（-×）≠f（×），故f（×）＝2×⁴+3׳+1既不是奇函数也不是偶函数.

11.求函数ｙ＝ｌN（×+2）-3的反函数.

解 由ｙ＝ｌN（×+2）-3可知ｌN（×+2）＝ｙ+3，因此×+2＝e^ｙ+3，故×＝e^ｙ+3-2，所以函数ｙ＝ｌN（×+2）-3的反函数为ｙ＝e^×+3-2.

12.设函数，求f［f（×）］.(https://www.daowen.com)

解 因为当×＜1时，f（×）＝3×+1＜4，而当×≥1时，f（×）＝×≥1，故分别令3×+1＝1和×＝1，得×＝0和×＝1.

故当×＜0时，有f（×）＝3×+1＜1，从而f［f（×）］＝3（3×+1）+1＝9×+4；

当0≤×＜1时，有1≤f（×）＝3×+1，从而f［f（×）］＝3×+1；

当×≥1时，f（×）＝×≥1，从而f［f（×）］＝×.

因此f

13.求的反函数及其定义域.

解 当-1≤×＜0时，有ｙ＝ײ，故，0＜ｙ≤1；

当0＜×≤1时，有ｙ＝ｌN×，故×＝e^ｙ，-∞＜ｙ≤0；

当1＜×≤2时，有ｙ＝2e^×-1，故，2＜ｙ≤2e.故ｙ的反函数为

14.下列函数由哪些基本初等函数复合而成？

（1）ｙ＝A^{ｔAN ×} （2）ｙ＝ｌN AｒCSIN ײ

解 （1）ｙ＝A^{ｔAN ×}由函数ｙ＝A^ｕ，ｕ＝ｔAN ×复合而成；

（2）ｙ＝ｌN AｒCSIN ײ由函数ｙ＝ｌN ｕ，ｕ＝AｒCSIN ｖ，ｖ＝ײ复合而成.

15.设f（×）的定义域为［0，2A］，求f（×+A）+f（×-A）的定义域.

解 需要同时满足0≤×+A≤2A和0≤×-A≤2A，即-A≤×≤A和A≤×≤3A，故f（×+A）+f（×-A）的定义域为×＝A.

16.设f（×）＝AｒCSIN ×，ϕ（×）＝ｌN ×，求ϕ［f（×）］的定义域.

解 需要满足AｒCSIN ×＞0，故定义域为0＜×≤1.

17.已知f（×）的定义域为［0，1］，则f（AｒCｔAN ×）的定义域.

解 需要满足0≤AｒCｔAN ×≤1，故定义域为0≤×≤ｔAN 1.

18.已知，求f（×）.

解 由于，故令，则f（ｔ）＝，所以.

19.判别下列函数的奇偶性.

（1）

（2）

解 （1）由于f（-×）＝ｌN（-×+1+ײ）＝-ｌN（×+1+ײ）＝-f（×），故f（×）为奇函数；

（2）由于，故f（×）为偶函数.

20.设下面所考虑的函数都是定义在区间（-ｌ，ｌ）上的，证明：

（1）任意一个函数总可以写成一个奇函数与一个偶函数的和；

（2）两个偶函数的和是偶函数；两个奇函数的和是奇函数；

（3）两个偶函数之积为偶函数；两个奇函数之积为偶函数；偶函数和奇函数之积为奇函数.

证 （1）由于，且是偶函数，是奇函数，故结论成立.

（2）设f₁（×）和f₂（×）都是偶函数，f（×）＝f₁（×）+f₂（×），则

f（-×）＝f₁（-×）+f₂（-×）＝f₁（×）+f₂（×）＝f（×）故f（×）为偶函数，即结论成立.

设g₁（×）和g₂（×）都是奇函数，g（×）＝g₁（×）+g₂（×），则

g（-×）＝g₁（-×）+g₂（-×）＝-g₁（×）-g₂（×）＝-g（×）故g（×）为奇函数，即结论成立.

（3）设f₁（×）和f₂（×）都是偶函数，f（×）＝f₁（×）f₂（×），则

f（-×）＝f₁（-×）f₂（-×）＝f₁（×）f₂（×）＝f（×）故f（×）为偶函数；

设g₁（×）和g₂（×）都是奇函数，g（×）＝g₁（×）g₂（×），则

g（-×）＝g₁（-×）g₂（-×）＝［-g₁（×）］·［-g₂（×）］＝g（×）故g（×）为偶函数；

设f（×）为偶函数，g（×）为奇函数，ｈ（×）＝f（×）g（×），则

ｈ（-×）＝f（-×）g（-×）＝f（×）·［-g（×）］＝-ｈ（×）故ｈ（×）为奇函数.