微积分典型例题与解法：讨论函数连续性，求间断点类型

例1 设，由于（ ），所以ｌ_×I→m₁f（×）不存在.

A.f（×）在×＝1处不存在 B.不存在

C.不存在 D.和都存在，但不等

解 函数在一点是否有极限与函数在一点是否有定义无关，因此A不正确 .当×→1-时，有，因此，因此C不正确 .当×→1⁺时，有，因此，因此应选择D.

例2　×→0时，与SIN²×等价的无穷小量是（ ）.

A.ｌN（1+×）B.ｔAN×　C.2（1-CoS×）D.e^×-1

解 解法一，ｌN（1+×）是比SIN²×的低阶无穷小，排除A.，ｔAN×是比SIN²×的低阶无穷小，排除B.，e^×-1是比SIN²×的低阶无穷小，排除D.，因此与SIN²×等价的无穷小量是C.

解法二 当×→0时，SIN²×～ײ，而ｌN（1+×）～×，ｔAN×～×，e^×-1～×，1-，故2（1-CoS×）～ײ～SIN²×，因此与SIN²×等价的无穷小量是C.

例3 求极限

解 设，则

故

由于

N

（N＝1，2，…），故（N＝1，2，…），而，因此由夹逼定理知，所以原式

例4 设，试证数列｛×_N｝极限存在，并求_Nｌ→Im∞×_N.

解 首先证明存在.由于×₁＝10及知×₁＞×₂，设对正整数k有×_k＞×_k+1，则有，故由归纳法知，对任意自然数N都有×_N＞×_N+1，即数列｛×_N｝为单调递减数列；又×_N＞0，即｛×_N｝有下界，根

据极限存在准则知存在.设，由于，则有，从而A＝，解得_NｌIm.

例5 设函数f（×）＝A^×（A＞0，A≠1），求.

解 因，故.(https://www.daowen.com)

例6 已知极限_×ｌIm0，确定A及B.

解 通分整理，得

，再由于此函数是分式函数，分子分母都是多项式，且分母是一次多项式，因此分子应为常数，故有1-A＝0和A+B＝0，因此A＝1，B＝-1.

例7 求极限×.

解 当×→0时，有

而，，因此

例8 求极限

解 由于

所以原式＝e^-8.

例9 设，g（×）＝SIN×，讨论f［g（×）］的连续性.

解 当2kπ≤×≤（2k+1）π时，SIN×≥0；当（2k+1）π＜×＜（2k+2）π时，SIN×＜0，所以

显然当×∈（kπ，（k+1）π）（k＝0，±1，±2，…）时，f［g（×）］连续；而当×＝kπ时，

所以f［g（×）］在×＝kπ（k＝0，±1，±2，…）处不连续.

例10 讨论函数的连续性.若有间断点，判别其类型.

解 当×＞1时，；当×＜1时，；故

显然f（×）在×＜1和×＞1时都是连续的，由，知×＝-1为可去间断点；由，知×＝1为可去间断点.

例11 求的间断点并判断类型.

解 ｔAN×的无定义点和零点分别为×＝kπ和（k＝0，±1，±2，…）.又；（k＝0，±1，±2，…）；（k＝0，±1，±2，…）.所以×＝0和（k＝0，±1，±2，…）是f（×）的第一类可去间断点；而×＝kπ，（k＝±1，±2，…）为f（×）的第二类间断点.