解析微积分典型例题及解法，包括函数定义域、函数复合、填空题等

1.确定下列函数的定义域.

（1）

（2）

（3）

（4）

2.下列函数可以看成由哪些简单函数复合而成.

（1）ｙ＝（1+ｌN×）5

（2）

（3）ｙ＝e^e-×2

（4）ｙ＝ｌN²AｒCCoSײ

3.填空题.

（1）设，则AB＝.

（2）已知，则×＝为f（×）的第类间断点.

（3）设，在×＝0处连续，则A＝.

（4）已知，则常数P＝.

（5）设函数，则ｌ_×I→m₁f［f（×）］＝.

（6）设，则×＝0是f（×）的第类间断点.

（7）若，若极限存在，则A＝

.

（8）设，则＝.

（9），则A＝，B＝.

（10）设f，补充定义f（0）＝可使其在×＝0处连续.

4.选择题.

（1）下列函数中，（ ）不为初等函数.

A.ｙ B.

C. D.ｙ＝×

（2）下列函数中，（ ）为奇函数.

A. B.

C.ｙ＝ײ+CoS× D.ｙ＝f（ײ）

（3）函数ｙ＝SIN×的周期为（ ）.

A.4π B.π

C.2π D.

（4）“f（×）在×＝A连续“是“f（×）在×＝A连续”的（ ）条件.

A.必要非充分 B.充分非必要

C.充要 D.既非充分又非必要

（5）设f，则下列结论错误的是（ ）.(https://www.daowen.com)

A.×＝1，×＝0，×＝-1为间断点 B.×＝0为可去间断点

C.×＝-1为无穷间断点 D.×＝0为跳跃间断点

（6）函数，在×＝1处（ ）.

A.右连续 B.左、右皆不连续 C.左连续 D.连续

（7）下列函数在定义域内不连续的是（ ）.

A. B. C.f D.f（×）＝1+SIN ×+SIN²×+…，

（8）若数列｛ｙ_N｝满足，N＝1，2，3，…，则当N→∞时，必有（）.

A.ｙ_N是无穷小量 B.ｙ_N是无界变量 C. D.ｙ_N是无穷大量

（9）下列函数中，（）在点×＝0补充定义可成为连续函数

A. B. C. D.

（10），则A＝（ ）.

A.1 B.-1 C.0 D.以上都不对

（11）若×→0时，2SIN×-SIN2×～×^k，则k＝（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.4

（12）设，要使f（×）在处连续，则应取＝（ ）.

A.-1 B.0 C.1 D.2

（13）已知f（×）在［A，B］上连续，则（ ）一定存在.

A. B. C. D.

5.求极限.

（1） （2）

（3） （4）

（5） （6），求C

（7） （8）

6.设0＜A₁＜A₂＜…＜A_k，求.

7.设函数，求A，B使f（×）在（-∞，+∞）上连续.

8. 讨论函数的连续性，并判断间断点的类型.

9.证明：奇次方程一定有实根，其中A2N+1≠0.

10.设函数，问函数f（×）在×＝1处是否连续？若不连续，修改函数在×＝1处的定义，使之连续.

11.某人借债A万元，若按连续复利计算，至少经过多少年债务额要翻一番（借债年利率为5％）？

12.讨论函数的连续性.

13.设f（×）＝e^×-2，求证：在区间（0，2）内至少存在一点×₀，使f（×₀）＝×₀.

14.已知，求A，B.

15.已知，求C及k，使f（×）～C×^k.

16.若f（×）在［A，B］上连续，A＜×₁＜×₂＜B，试证：一定存在介于A，B之间的一点ξ，使得αf（×₁）+βf（×₂）＝（α+β）f（ξ）成立，其中α＞0，β＞0.