2014全国硕士研究生入学考试试题及答案

一、选择题（第1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.）

（1）下列曲线有渐近线的是

（A）y=x+sin x. （B）y=x²+sin x.

[ ]

（2）设函数f（x）具有2阶导数，g（x）=f（0）（1-x）+f（1）x，则在区间[0，1]上

（A）当f′（x）≥0时，f（x）≥g（x）.（B）当f′（x）≥0时，f（x）≤g（x）.

（C）当f″（x）≥0时，f（x）≥g（x）.（D）当f″（x）≥0时，f（x）≤g（x）.

[ ]

（3）设f（x）是连续函数，则

[ ]

（4）若，则a₁ cos x+b₁ sin x=

（A）2sin x. （B）2cos x. （C）2πsin x. （D）2πcos x.

[ ]

（5）行列式

（A）（ad-bc）2.（B）-（ad-bc）2.（C）a²d²-b²c².（D）b²c²-a²d².

[ ]

（6）设α₁，α₂，α₃是3维向量，则对任意常数k，l，向量α₁+kα₃，α₂+lα₃线性无关是向量α₁，α₂，α₃线性无关的

（A）必要而非充分条件. （B）充分而非必要条件.

（C）充分必要条件. （D）既非充分又非必要条件.

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（7）设随机事件A与B相互独立，且P（B）=0.5，P（A-B）=0.3，则P（B-A）=

（A）0.1. （B）0.2. （C）0.3. （D）0.4.

[ ]

（8）设连续型随机变量X₁与X₂相互独立，且方差均存在，X₁与X₂的概率密度分别为f₁（x）与f₂（x），随机变量Y₁的概率密度为，随机变量（X₁+X₂），则

（A）EY₁＞EY₂，DY₁＞DY₂. （B）EY₁=EY₂，DY₁=DY_2.

（C）EY₁=EY₂，DY₁＜DY₂. （D）EY₁=EY₂，DY₁＞DY_2.

[ ]

二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分.）

（9）曲面z=x²（1-sin y）+y²（1-sin x）在点（1，0，1）处的切平面方程为____.

（10）设f（x）是周期为4的可导奇函数，且f′（x）=2（x-1），x∈[0，2]，则f（7）=____.

（11）微分方程xy′+y（ln x-ln y）=0满足条件y（1）=e³的解为y=____.(https://www.daowen.com)

（12）设L是柱面x²+y²=1与平面y+z=0的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分

（13）设二次型f（x₁，x₂，x₃）=x²₁-x²₂+2ax₁x₃+4x₂x₃的负惯性指数是1，则a的取值范围____.（14）设总体X的概率密度为，其中θ是未知参数，X₁，X₂，…，X_n为来自总体X的简单随机样本，若是θ²的无偏估计，则c=____.

三、解答题（15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分10分）

求极限

（16）（本题满分10分）

设函数y=f（x）由方程y³+xy²+x²y+6=0确定，求f（x）的极值.

（17）（本题满分10分）

设函数f（u）具有二阶连续导数，z=f（e^x cos y）满足.若f（0）=0，f′（0）=0，求f（u）的表达式.

（18）（本题满分10分）

设Σ为曲面z=x²+y²（z≤1）的上侧，计算曲面积分

（19）（本题满分10分）

设数列{a_n}，{b_n}满足，0，cos a_n-a_n=cos b_n，且级数收敛.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）证明：级数收敛.

（20）（本题满分11分）

设，E为三阶单位矩阵.

（Ⅰ）求方程组Ax=0的一个基础解系；

（Ⅱ）求满足AB=E的所有矩阵B.

（21）（本题满分11分）

证明n阶矩阵相似.

（22）（本题满分11分）

设随机变量X的概率分布为，在给定X=i的条件下，随机变量Y服从均匀分布U（0，i）（i=1，2）.

（Ⅰ）求Y的分布函数F_Y（y）；

（Ⅱ）求EY.

（23）（本题满分11分）

设总体X的分布函数为其中θ是未知参数且大于零，X₁，X₂，…，X_n为来自总体X的简单随机样本.

（Ⅰ）求EX与E（X²）；

（Ⅱ）求θ的最大似然估计量；

（Ⅲ）是否存在实数a，使得对任何ε＞0，都有？