2012全国硕士研究生入学统一考试试题解析

一、选择题（第1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.）

（1）曲线的渐近线条数为

（A）0. （B）1. （C）2. （D）3.

[ ]

（2）设函数y（x）=（e^x-1）（e^2x-2）…（e^nx-n），其中n是正整数，则y′（0）=

（A）（-1）n^-1（n-1）！. （B）（-1）ⁿ（n-1）！.

（C）（-1）n^-1n！. （D）（-1）ⁿn！.

[ ]

（3）如果函数f（x，y）在点（0，0）处连续，那么下列命题正确的是

（A）若极限存在，则f（x，y）在点（0，0）处可微.

（B）若极限存在，则f（x，y）在点（0，0）处可微.

（C）若f（x，y）在点（0，0）处可微，则极限存在.

（D）若f（x，y）在点（0，0）处可微，则极限存在.

（4）设，则有

[ ]

（A）I₁＜I₂＜I₃. （B）I₃＜I₂＜I₁. （C）I₂＜I₃＜I₁. （D）I₂＜I₁＜I_3.

[ ]

（5）设，，，，其中c₁，c₂，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的为

（A）α₁，α₂，α₃. （B）α₁，α₂，α₄. （C）α₁，α₃，α₄. （D）α₂，α₃，α_4.

[ ]

（6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且.若P=（α₁，α₂，α₃），Q=（α₁+α₂，α₂，α₃），则Q^-1AQ=

[ ]

（7）设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P（X＜Y）=

[ ]

（8）将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为

（A）1. （B）.（C）（D）-1.

[ ]

二、填空题（第9～14小题，每小题4分，共24分.）

（9）若函数f（x）满足方程f″（x）+f′（x）-2f（x）=0及f″（x）+f（x）=2e^x，则f（x）=

.

（12）设Σ={（x，y，z）x+y+z=1，x≥0，y≥0，z≥0}，则____.(https://www.daowen.com)

（13）设x为三维单位列向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E-xx^T的秩为____.（14）设A，B，C是随机事件，A与C互不相容，，，则P（ABC）=____.

三、解答题（第15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分10分）

证明

（16）（本题满分10分）

求函数f的极值.

（17）（本题满分10分）

求幂级数的收敛域及和函数.

（18）（本题满分10分）

已知曲线L：，其中函数f（t）具有连续导数，且f（0）=0，若曲线L的切线与x轴交点到切点的距离恒为1，求函数f（t）的表达式，并求曲线L与x轴、y轴为边界的无界区域的面积.

（19）（本题满分10分）

已知L是第一象限中从点（0，0）沿圆周x²+y²=2x到点（2，0），再沿圆周x²+y²=4到点（0，2）的曲线段，计算曲线积分

（20）（本题满分11分）

设，

（Ⅰ）计算行列式A；

（Ⅱ）当实数a为何值时，方程组Ax=β有无穷多解，并求其通解.

（21）（本题满分11分）

已知及二次型f（x₁，x₂，x₃）=x^T（A^TA）x的秩为2.

（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）求正交变换x=Qy，它将f化为标准形.

（22）（本题满分11分）

设二维离散型随机变量（X，Y）的概率分布为

（Ⅰ）求P（X=2Y）；

（Ⅱ）求Cov（X-Y，Y）.

（23）（本题满分11分）

设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N（μ，σ²）与N（μ，2σ²），其中σ是未知参数且σ＞0.设Z=X-Y.

（Ⅰ）求Z的概率密度f（z，σ²）；

（Ⅱ）设Z₁，Z₂，…，Z_n为来自总体Z的简单随机样本，求σ²的最大似然估计量；

（Ⅲ）证明为σ²的无偏估计量.