1.2.3 利用夹逼准则与单调有界准则求极限（例1.19—1.28）
例1.19（江苏省2006年竞赛题） 求
解析 利用夹逼准则，令
，由于
又
所以
例1.20（南京大学1995年竞赛题） 求
解析 由于
，当x＞0时
由左边不等式推知
≤1，由右边不等式推知
1，所以
当x＜0时
由左边不等式推知
≤1，由右边不等式推知
1，所以
因而
例1.21（南京工业大学2009年竞赛题） 求
解 原式
，由于
因为
→0，由夹逼准则得
，故原式=1+0=1.
例1.22（浙江省2007年竞赛题） 求
解析 
令
则
由于
故
又因为2≤k＜n时
所以
又
由于
故
又因为2≤k＜n时
所以
于是∀n∈｛2，3，…｝，有0＜xn＜3，故
应用夹逼准则，得
例1.23（江苏省2008年竞赛题） 设数列｛xn｝为x1=1，xn+1=
（n=1，2，…），求证数列｛xn｝收敛，并求其极限.
解析 因为
，归纳假设0＜xn-1＜xn⇒0＜6+xn-1＜6+xn⇒xn=
所以数列｛xn｝单调增.又x1＜3，归纳假设xn＜3⇒xn+1=
=3，所以数列｛xn｝有上界3，应用单调有界准则得数列｛xn｝收敛.
令xn→A，则xn+1→A⇒A=
⇒A=3，于是
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例1.24（江苏省2008年竞赛题） 设数列｛xn｝为
，求证数列｛xn｝收敛，并求其极根.
解析 因为
所以
由于
应用夹逼准则得x2n→1，x2n+1→1，故
例1.25（莫斯科动力学院1975年竞赛题） 设x1=b，xn+1=
+（1-2a）xn+a2（n≥1），当a，b满足何条件时数列｛xn｝收敛？并求
解析 因为xn+1=xn+（xn-a）2，于是xn+1≥xn，即xn单调增.若｛xn｝收敛，令xn→A⇒A=a.由
+（1-2a）xn+a2≤a⇒a-1≤xn≤a
则a-1≤b≤a.
反之，设a-1≤b≤a，则
xn+1≥xn≥a-1，xn+1=xn+（xn-a）2≤xn+a-xn=a
故｛xn｝单调增，有上界a.
于是a-1≤b≤a，且
例1.26（莫斯科轻工业学院1977年竞赛题） 求正整数n，使得
n＜6（1-1.001-1000）＜n+1
解析 由于数列
单调增加且趋向于e，所以
又
取n=1000，得
于是所求正整数n=3.
例1.27（莫斯科公路学院1976年竞赛题） 设a＞b＞0，定义数列
求证：这两个数列皆收敛，且其极限相等.
解析 由于
所以0＜b＜b1＜a1＜a.同理可得0＜b1＜b2＜a2＜a1，0＜b2＜b3＜a3＜a2.
归纳假设0＜bn-1＜bn＜an＜an-1，则
所以0＜bn＜bn+1＜an+1＜an，由此得数列｛an｝单调减，有下界b；数列｛bn｝单调增，有上界a.应用单调有界准则，它们皆收敛.设
在
两边令n→∞，得
2A=A+B，B2=AB
由于A＞0，B＞0，所以A=B，即
例1.28（莫斯科技术物理学院1976年竞赛题） 设
，求证：数列｛cn｝收敛于AB，其中
解析 由题给条件得
an=A+αn，bn=B+βn
这里αn→0，βn→0（n→∞）.于是
由于αn→0，所以∀ε＞0，∃N∈N，当n＞N时
，且
另一方面，由于
，所以∀ε＞0，∃M∈N，当n＞M时，
故∀ε＞0，取K=max｛N，M｝，则当n＞K时，有
由极限的定义得
（α1+α2+…+αn）→0（n→∞），于是
同理可得βn→0时，有
由于αn→0，所以∃k＞0，使得∀n∈N，有|αn|＜k，于是
由于βn→0时
所以
综上，在（＊）式中令n→∞，即得
