8.1.3 二阶微分方程
1）用降阶法解特殊的二阶微分方程
（1）y″=f（x）：积分两次即得通解
（2）y″=f（x，y′）：令y′=u，则原方程化为一阶方程u′=f（x，u）.
（3）y″=f（y，y′）：令y′=u，y″=
则原方程化为一阶方程
2）二阶线性微分方程通解的结构
二阶线性微分方程的标准形式为
y″+p（x）y′+q（x）y=f（x） （1）
y″+p（x）y′+q（x）y=0 （2）
称方程（2）为方程（1）所对应的齐次方程，称方程（2）的通解为方程（1）的余函数.
定理1 设y1（x）与y2（x）是方程（2）的两个线性无关解，则方程（2）的通解为
y=c1y1（x）+c2y2（x）
这里c1与c2为两个任意常数.
定理2 设y1（x）与y2（x）是方程（2）的两个线线无关解，
（x）是方程（1）的任一特解，则方程（1）的通解为
y=c1y1（x）+c2y2（x）+
（x）
定理3 设方程（1）中f（x）=f1（x）+f2（x）.若方程
y″+p（x）y′+q（x）y=f1（x）
y″+p（x）y′+q（x）y=f2（x）
分别有特解
（x）与
（x），则方程（1）有特解
（x）+
（x）.
定理4 方程（1）的任意两个特解的差是方程（2）的一个特解；方程（1）的任意两个特解的平均值仍是方程（1）的一个特解.(https://www.daowen.com)
3）二阶常系数线性齐次方程的通解公式：二阶常系数线性齐次方程
y″+py′+qy=0 （3）
的特征方程为
λ2+pλ+q=0 （4）
当p2-4q＞0时，方程（4）有两个相异实根λ1，λ2（λ1≠λ2），此时方程（3）的通解为
当p2-4q=0时，方程（4）有两个相等的实根λ1，λ2（λ1=λ2），此时方程（3）的通解为
当p2-4q＜0时，方程（4）有两个共轭复根λ1=α+βi，λ2=α-βi，其中α=
，此时方程（3）的通解为
y=eαx（c1cosβx+c2sinβx）
4）二阶常系数线性非齐次方程的特解
设方程
y″+py+qy=f（x） （5）
当右端的函数f（x）为指数函数eαx、多项式Pn（x）、三角函数acosβx+bsinβx或者它们的乘积时，可用待定系数法求方程（5）的一个特解
（x）.这里
（x）与f（x）有相同的形式，或在此相同形式前乘以xk（k=0，1，2）.具体地说，当α或α+βi不是特征根时，k=0；当λ=0不是特征根时，k=0；当α或α+βi是单特征根时，k=1；当λ=0是单特征根时，k=1；当α是二重特征根时，k=2.
5）欧拉方程：二阶欧拉方程的标准形式是
x2y″+pxy′+qy=f（x） （6）
作自变量的变换，令x=et，则
代入方程（6）化为常系数线性方程
