1.2.1 映射
定义1.2.1 设A，B是两个任意的非空集合，如果按照某种确定的法则f，使得对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与它相对应，则称f为从集合A到集合B的一个映射，如图1.5所示，记作：
f：A→B，或f：x→y＝f（x），x∈A
式中，元素y称为元素x在映射f下的像，而元素x称为元素y在映射f下的一个原像.集合A称为映射f的定义域，记作D（f），即D（f）＝A；A中所有元素的像组成的集合称为映射f的值域，记作R（f）或f（A），即
图1.5 映射
从映射的定义可知，构成映射必须具备三个要素：集合A，即定义域D（f）＝A；集合B，即值域的范围R（f）⊂B；对应法则f，即确定集合A中所有元素和B中部分或所有元素之间的关系.
集合A中的任意一个元素x一定有对应于集合B中的像y，且y是唯一的；而集合B中的任意一个元素y不一定有对应于集合A中的原像x，有也不一定是唯一的，即R（f）是B的子集[R（f）⊂B]，不一定有R（f）＝B.所以，一对一和多对一是映射，一对多不是映射.(https://www.daowen.com)
另外，要注意映射中的集合可以是点集或者数集，也可以是其他集合，这也是映射和下面将要讲到的函数的一个区别.
设f是从集合A到集合B的映射，若R（f）＝B，即集合B中的任一元素y都是集合A中某个或某几个元素与之对应的像，则称f为集合A到B的满射如图1.6（a）所示；若对A中任意两个不同的元素x1，x2，即x1≠x2，与它们对应的像f（x1）≠f（x2），则称f为集合A到B的单射如图1.6（b）所示；若f既是单射；又是满射，则称f为A到B的一一映射或双射如图1.6（c）所示.
图1.6 函数的映射
例1.2.1 设A＝{-1，1，-2，2，-3，3，-4，4}，B＝{1，4，9，16，25}，f表示求平方，f为从A到B的映射，由于A中的两个元素对应B中的一个元素，比如-3和3对应的像都为9，且B中的元素25没有与之对应的原像，所以f既不是单射也不是满射.
例1.2.2 设A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（0，y）|-1≤y≤1}，f表示单位圆周上的任意一点向y轴投影，f的定义域D（f）＝A，值域R（f）＝B，由于圆周上任意一点向y轴的投影都落在了区间[-1，1]上，所以f是满射.
例1.2.3 设A是由某校某班全体学生构成的集合，B是由该校所有学生学号构成的集合，f是学号编排的方法.由于一个学生只能对应一个学号，且一个班级的学生不能把全校学生的学号都对应完，所以f是单射但不是满射.
例1.2.4 设A＝R，B＝{y|y＞0}，f表示求e指数值，即y＝f（x）＝ex，由于B中的任一元素在A中只有一个原像，且A中的所有元素对应B中的所有元素，所以f是一一映射.
