1.2.3 函数的基本性质
1.函数的有界性
定义1.2.3 设函数y＝f（x）的定义域为D，且有区间I⊂D.如果存在正数M，使任意的x∈I，都有
|f(x)|≤M
则称函数f（x）在I上有界，y＝f（x）称为有界函数.
如果这样的M不存在，那么函数f（x）在I上无界，即若对任意给定的M，总存在x∈I，使|f（x）|＞M，那么函数f（x）在I上无界.
同样我们还可以定义函数的上界和下界.如果存在常数M1∈R，使得对任意的x∈I，都有f（x）≤M1，则称f（x）在I上有上界，M1是f（x）的一个上界；如果存在常数M2∈R，使得对任意的x∈I，都有f（x）≥M2，则称f（x）在I上有下界，M2是f（x）的一个下界.f（x）在I上有界的充分必要条件是：既有上界又有下界。
函数的有界分为函数在定义域上的有界和函数在定义区间上的有界.例如，函数y＝sinx，因为对任意的x∈（-∞，+∞），都有-1≤sinx≤1，即|sinx|≤1成立，这里M＝1（当然也可取大于1的任何数作为M，而|sinx|≤M成立），所以y＝sinx在x∈（-∞，+∞）上既有上界又有下界，是有界函数，且为定义域上的有界函数.
又如函数y＝lnx在定义域x∈（0，+∞）上是无界的，但它在区间[1，5]上是有界的，因为取M＝ln5，对任意的x∈[1，5]，都有|lnx|≤ln5成立，且为定义区间上的有界函数.
所以，在讨论函数的有界性时，应指明函数所在的区间.一个函数有可能在定义域上有界，也有可能仅在定义区间上有界.
2.函数的单调性
定义1.2.4 设函数f（x）的定义域为D，区间I⊂D，如果对于任意两点x1，x2∈I，当x1＜x2时，恒有
f(x1)＜f(x2)
则称函数f（x）在区间I上是单调增加的；如果恒有
f(x1)＞f(x2)
则称函数f（x）在区间I上是单调减少的.单调增加的函数和单调减少的函数统称为单调函数.
例如，函数f（x）＝ex在区间（-∞，+∞）上是单调增加的，函数f（x）＝e-x在区间（-∞，+∞）上是单调减少的，如图1.8所示.函数f（x）＝x2在区间（-∞，+∞）上不具备单调性，但在区间[0，+∞）上是单调增加的，在区间（-∞，0]上是单调减少的，如图1.9所示.
图1.8 e指数函数
图1.9 二次幂函数(https://www.daowen.com)
所以，在讨论函数的单调性时也必须强调自变量所在的区间.
3.函数的奇偶性
定义1.2.5 设函数f（x）的定义域D关于原点对称（即若x∈D，则必-x∈D）.如果对于任意x∈D，总有
f(-x)＝f(x)
则称f（x）为偶函数；如果对于任意x∈D，总有
f(-x)＝-f(x)
则称f（x）为奇函数.
偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称.例如，f（x）＝x2是偶函数，其图形关于y轴对称；
是奇函数，其图形关于原点对称，如图1.10所示.f（x）＝sinx+x2既非奇函数，又非偶函数.
注意：若f（x）在x＝0有定义，则当f（x）为奇函数时，必有f（0）＝0，如图1.11所示.函数的奇偶性描述了函数的图形关于原点的中心对称性质或关于y轴的轴对称性质，所以，对于具有奇偶性质的函数，只需考虑x≥0时的情形即可.
图1.10 函数
的对称性
图1.11 奇函数的对称性
4.函数的周期性
定义1.2.6 对于函数f（x），如果存在一个正数l，使得对于任意的x∈D，且x±l∈D，若
f(x±l)＝f(x)
则称f（x）为周期函数，称l为f（x）的周期（通常指最小正周期，也即基本周期）.例如，函数sinx和cosx都是以2π为周期的周期函数；函数tanx，cotx是以π为周期的周期函数.
根据周期函数图形的特点，常常只要考查它在一个周期内的性态就可以了.
注意：并不是所有的周期函数都能找到最小正周期，比如常数函数f（x）＝C，每一个正实数都是它的周期，所以不存在最小正周期；再比如后面将要讲到的狄利克雷函数，每一个正有理数都是它的周期，但是没有最小正周期.
