1.2.2 函数
1.常量与变量
在人类的科学研究和生产实践中，常常会遇到各种不同的量.例如，长度、面积、体积、重量、温度、电压、电流，等等.在某一运动变化过程中相对保持不变的量称为常量，可以看作有固定取值的量，常用字母为a，b，c，d，e，h，i，k，l，m，n等来表示.在某一运动变化过程中不断变化，可以取不同数值的量称为变量，常用字母为x，y，z，u，v，w，s，t等来表示.例如，家庭用电的电压为220V，可以看作常量；一天中温度随时间在不断的变化，温度就是一个变量.
常量和变量是相对的，这在高等数学中有很好的体现.常量和变量是数学中一对基本矛盾，也是区别初等数学和高等数学的重要特征之一.常量可在数轴上用定点来表示，而变量在数轴上是以动点来表示的，所以常量可看作变量的特殊情况.
2.函数
在科学研究、生产实践和社会活动的过程中，常常碰到的是有几个量同时都在变化，这几个变量并不是孤立地在变，而是按照一定的规律相互联系着.其中一个量变化时，另外的量也在跟着变化；前者的值一确定，后者的值也就随之而唯一地确定.下面我们先看几个例子.
例1.2.5 若已知圆的半径为r，则圆的面积A就确定了，因此圆的面积A与半径r存在着确定的对应关系.这种对应关系可表示为
A＝πr2
当半径r在区间（0，+∞）内任意取定一个值时，由上式就可以确定面积A的相应数值.
例1.2.6 某城市11月某天中的气温变化，如表1.1所示，从表中可以看出，一天中的气温随时间在不断变化，虽然没有一个温度随时间变化的公式，但给定的时间对应着一个确定的温度.
表1.1 某城市11月份某天中的气温变化
例1.2.7 中国人口在1980—2016年间出生率的变化情况，如图1.7所示.其中横坐标表示年份，纵坐标表示出生率，从图中可以看出人口出生率随年份在不断的变化，1987年的人口出生率最高，此后出生率整体趋势在下降.该图形反映了出生率与年份的对应关系.(https://www.daowen.com)
图1.7 1980—2016出生率的变化情况
在例1.2.5～例1.2.7中，不管是公式、表格还是图形，都表示的是两个变量之间的某种对应关系，这种对应关系就是函数关系.下面给出函数的定义.
定义1.2.2 设x，y是两个变量，D是给定的一个非空数集（D⊆R）.如果存在某个确定的法则f，使得对于任意一个x∈D，都有唯一确定的数y与之对应，那么就称这个对应法则f为定义在D上的函数，记作y＝f（x），x∈D.其中x称为函数f的自变量，y称为函数f的因变量，D称为函数y＝f（x）的定义域；与x的值相对应的y的值称为函数值，全体函数值组成的集合
称为函数y＝f（x）的值域.函数符号y＝f（x）表示“y是x的函数”，有时简记作函数f（x）.
函数的符号f也可用其他字母来表示，如φ，ψ等.相应地，函数可记作y＝φ（x），y＝ψ（x）等；有时还可直接利用因变量的符号来表示函数，即把函数记作y＝y（x）.这时字母y既表示因变量，又表示函数.
从函数的定义可以看出，函数概念有三个要素，即定义域、值域和对应法则.但判断两个函数是否为同一个函数时，我们只需要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同就可以了，这是因为一个函数的定义域和对应法则确定后，函数的值域就确定了.如果两个函数的定义域和对应法则相同，那么这两个函数就是同一个函数，否则就不是同一个函数.例如，
就为同一个函数.
许多函数是由解析表达式给出的，没有明确给出函数的定义域，在这种情况下，函数的定义域是指使函数表达式有意义的一切实数所组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域.
例1.2.8 求函数
的定义域.
解 要使表达式
有意义，必须有1-x2≥0，-1≤x≤1，所以函数y＝
的定义域为闭区间[-1，1]，[-1，1]为函数
的自然定义域.
在实际问题中，函数的定义域还要受到实际条件的约束，所以应根据问题的实际意义来确定.例如，圆面积公式A＝πr2的定义域D＝（0，+∞）；自由落体下落的路程s和下落时间t的函数关系为
（g为重力加速度），若其落到地面所需的时间为T，那么这个函数的定义域为[0，T].
函数的表示方法一般有解析法即算式表示法（如例1.2.5）、列表法（如例1.2.6）和图像法（如例1.2.7）.这三种方法各有特点，解析法简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的依赖关系，但有些实际问题中的函数关系不能用解析式表示；列表法一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律；图像法形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系.三种方法各有优缺点，所以可以结合使用.
