1.4.1 基本初等函数
常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.它们是构成初等函数的基础，所以了解初等函数的性质和图形在微积分的学习中是十分必要的.
1.常数函数
y＝C（C为任意常数），x∈R
其图形是平行于x轴的直线，如图1.14所示.
2.幂函数
y＝xμ，μ为任意的非零常数.
幂函数的定义域和值域依赖于指数μ，但在（0，+∞）内都有定义，且都为无界函数.下面分情况讨论，如图1.15所示.
图1.14 常数函数
图1.15 幂函数
（1）当μ为正整数时，函数的定义域为x∈（-∞，+∞），图形都经过原点，当μ＞1时，在原点处与x轴相切，若μ为奇数时，图形关于原点对称，若μ为偶数时，则图形关于y轴对称；当μ为负整数时，函数的定义域为x∈（-∞，0）∪（0，+∞）.
（2）当μ为正有理数
时，n为偶数时，函数的定义域为（0，+∞），n为奇数时，函数的定义域为（-∞，+∞），函数的图形均经过原点和（1，1）点；如果m＞n图形与x轴相切，如果m＜n，图形与y轴相切，且m为偶数时，还跟y轴对称；m，n均为奇数时，跟原点对称.
（3）当μ为负有理数
，n为偶数时，函数的定义域为（0，+∞）；n为奇数时，定义域为x∈（-∞，0）∪（0，+∞）.
（4）当μ为无理数时，以公式xμ＝eμInx作为xμ的定义，故定义域为（0，+∞）.
一些常见的幂函数的性质，如表1.2所示.
表1.2 一些常见的幂函数的性质
3.指数函数
形如y＝ax（a＞0，a≠1）的函数称为指数函数，如图1.16所示.
1）指数函数的特点
指数函数具有如下特点.
（1）指数函数的定义域是（-∞，+∞），值域为（0，+∞）；
（2）当a＞1时，函数为单调增函数，当0＜a＜1时，函数为单调减函数；
（3）不论x为何值，y总是正的，图形在x轴上方；
（4）不论a为何值（a＞0，a≠1），函数图形都经过点（0，1）；
（5）底数互为倒数的两个指数函数f（x）＝ax和f（x）＝
（a∈N+）的函数图像关于y轴对称，如图1.16所示；
（6）当a＞1（a∈N+）时，a值越大，y＝ax的图像越靠近y轴，如图1.17所示；当0＜a＜1（a∈N+）时，a值越大，y＝ax的图像越远离y轴，如图1.18所示.
图1.16 指数函数
图1.17 指数函数y＝ax（a＞1）
图1.18 指数函数y＝ax（0＜a＜1）
2）指数函数的性质
指数函数的性质，如表1.3所示.
表1.3 指数函数的性质
3）指数的运算法则
（1）整数指数幂的运算性质（a≥0，m，n∈Q）：
①am·an＝am+n;
②am÷an＝am-n;
③(am)n＝anm＝(an)m;
④(ab)n＝anbn.
（2）根式
的性质：
当n为奇数时，
；当n为偶数时
（3）分数指数幂：
①
(a＞0,m,n∈Z+,n＞1);
②
4.对数函数
形如y＝logax（a＞0，a≠1）的函数，称为对数函数，a称为对数的底，如图1.19所示.
称为常用对数函数，为了简便，记作lgx；
称为自然对数函数，它是使用以无理数e＝2.718 281 828 459 045…为底的对数函数，为了简便，简记作lnx.
1）对数函数的特点
对数函数具有如下特点.
（1）对数函数y＝logax （a＞0，a≠1）与指数函数y＝ax互为反函数，所以它们的图像关于直线y＝x对称；
（2）因为指数函数y＝ax的定义域为（-∞，+∞），值域是（0，+∞），所以，对数函数y＝logax的定义域是（0，+∞），其值域为（-∞，+∞）；
（3）当a＞1时，函数为严格单调增加；当0＜a＜1时，函数为严格单调减少；
（4）不论a为何值（a＞0，a≠1），图形都位于x轴的右方，且都经过（1，0）点；
（5）底数互为倒数的两个对数函数y＝logax和
的函数图像关于x轴对称，如图1.19所示；
图1.19 对数函数
（6）当a＞1时，a值越大，f（x）＝logax的图像越靠近x轴，如图1.20所示；当0＜a＜1时，a值越大，f（x）＝logax的图像越远离x轴，如图1.21所示.
图1.20 对数函数（a＞1）
图1.21 对数函数（0＜a＜1）
2）对数函数的性质
对数函数的性质，如表1.4所示.
表1.4 对数函数的性质
3）对数的运算法则
（1）如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么：
①loga(MN)＝logaM+logaN;
②
③logaMn＝nlogaM.
（2）对数恒等式
①alogaN＝N，（a＞0且a≠1，N＞0）；
②elnN＝N.
（3）对数换底公式
①
，一般常常换为e或以10为底的对数，即
或
；
②由公式和运算性质推导的结论：
（4）对数运算性质(https://www.daowen.com)
①1的对数是零，即loga1＝0；同理ln1＝0或lg1＝0；
②底数的对数等于1，即logaa＝1；同理lne＝1或lg10＝1.
5.三角函数
1）三角函数的性质
（1）正弦函数：y＝sinx，为有界函数，定义域x∈（-∞，+∞），值域y∈[-1，1]，如图1.22所示.
图1.22 正弦函数
（2）余弦函数：y＝cosx，为有界函数，定义域x∈（-∞，+∞），值域y∈[-1，1]，如图1.23所示.
图1.23 余弦函数
正、余弦函数的性质，如表1.5所示.
表1.5 正、余弦函数的性质
（3）正切函数：y＝tanx，为无界函数，定义域
，（k∈Z）}，值域y∈（-∞，+∞），如图1.24所示.
图1.24 正切函数
（4）余切函数：y＝cotx，为无界函数，定义域{x|x≠kπ，k∈Z}，y∈（-∞，+∞），如图1.25所示.
图1.25 余切函数
正、余切函数的性质，如表1.6所示.
表1.6 正、余切函数的性质
（5）正割函数：
， 为无界函数，定义域
，（k∈Z）}，值域
，如图1.26所示.
图1.26 正割函数
（6）余割函数：
， 为无界函数，定义域{x|x≠kπ，（k∈Z）}，值域
1，如图1.27所示.
图1.27 余割函数
正、余割函数的性质，如表1.7所示.
表1.7 正、余割函数的性质
续表
2）三角函数的关系
（1）倒数关系
sinxcscx＝1 cosxsecx＝1 tanxcotx＝1
（2）商数关系
图1.28 六边形记忆法
（3）平方关系
sin2x+cos2x＝1 1+tan2x＝sec2x 1+cot2x＝csc2x
上面的关系属于同角三角函数关系，可以采用六边形记忆法来帮助记忆，如图1.28所示，图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积”.
（4）诱导公式（口诀：奇变偶不变，符号看象限）
sin(-α)＝-sinα;tan(-α)＝-tanα;sec(-α)＝secα;
cos(-α)＝cosα;cot(-α)＝-cotα;csc(-α)＝-cscα
sin(π±α)＝∓sinα;tan(π±α)＝±tanα;sec(π±α)＝-secα
cos(π±α)＝-cosα;cot(π±α)＝±cotα;csc(π±α)＝∓cscα
（5）两角和与差的三角函数公式
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ cos(α±β)＝cosαcos∓sinαsinβ
（6）倍角公式
sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos2α-sin2α＝1-2sin2α＝2cos2α-1
（7）半角公式
（8）降幂公式
（10）积化和差公式
6.反三角函数
反三角函数的性质如下.
（1）反正弦函数：正弦函数y＝sinx在区间
上的反函数称为反正弦函数，记为y＝arcsinx，定义域[-1，1]，值域
，如图1.29所示.
（2）反余弦函数：余弦函数y＝cosx在区间[0，π]上的反函数称为反余弦函数，记为y＝arccosx，定义域为[-1，1]，值域为[0，π]，如图1.30所示.
图1.29 反正弦函数
图1.30 反余弦函数
反正、反余弦函数的性质，如表1.8所示.
表1.8 反正、反余弦函数的性质
（3）反正切函数：正切函数y＝tanx在区间
上的反函数称为反正切函数，记为y＝arctanx，为有界函数，定义域x∈（-∞，+∞），值域
，如图1.31所示.
（4）反余切函数：余切函数y＝cotx在区间（0，π）上的反函数称为反余切函数，记为y＝arccotx，为有界函数，定义域x∈（-∞，+∞），值域（0，π），如图1.32所示.
图1.31 反正切函数
图1.32 反余切函数
反正、反余切函数的性质，如表1.9所示.
表1.9 反正、反余切函数的性质
